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Em álgebra, uma álgebra de Lie é uma estrutura algébrica cujo principal uso está no estudo dos grupos de Lie e das variedades diferenciáveis. As álgebras de Lie foram introduzidas como ferramenta para o estudo das rotação infinitesimais. O termo "Álgebra de Lie" é uma referência a Sophus Lie, e foi cunhado pelo matemático Hermann Weyl na década de 1930.

Definição e primeiras propriedades |

Uma álgebra de Lie g{displaystyle {mathfrak {g}}} é um tipo de álgebra sobre um corpo; é um espaço vetorial sobre um corpo F juntamente com uma operação binária ([⋅,⋅]:g×g→g{displaystyle [cdot ,cdot ]:{mathfrak {g}}times {mathfrak {g}}to {mathfrak {g}}}, chamada de comutador, ou colchete de Lie), que satisfaz os seguintes axiomas:

• 
  Bilinearidade:
  

  
  

  [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]{displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}

  
  

  para todos escalares a, b em F e todos elementos x, y, z em g.{displaystyle {mathfrak {g}}.}
  

  
  

  
  


• 
  Anticomutatividade:
  

  
  

  [x,y]=−[y,x]{displaystyle [x,y]=-[y,x],}

  
  

  para todos elementos x, y em g.{displaystyle {mathfrak {g}}.} Quando F for um corpo de característica dois, deve-se impor a condição mais forte

  
  

  [x,x]=0{displaystyle [x,x]=0}

  
  

  para todo x em g.{displaystyle {mathfrak {g}}.}
  

  
  

  
  


• A identidade de Jacobi:
  

  
  

  [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0{displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0quad }

  
  

  para todosx, y, z em g.{displaystyle {mathfrak {g}}.}
  

  
  

  
  

Para qualquer álgebra associativa A com multiplicação *, pode-se construir uma álgebra de Lie L(A). Como espaço vetorial, L(A) coincide com A. O colchete de Lie de L(A) é definido como sendo o seu comutador em A:

[a,b]=a∗b−b∗a.{displaystyle [a,b]=a*b-b*a.}

A associatividade da multiplicação * em A implica a identidade de Jacobi para o comutador em L (A). Em particular, a álgebra associativa das matrizes n' × n sobre um corpo F dá origem ao grupo linear geral gln(F).{displaystyle {mathfrak {gl}}_{n}(F).} A álgebra associativa A é chamada de uma álgebra envolvente da álgebra de Lie L (A).

É sabido que cada álgebra de Lie pode ser mergulhada em uma álgebra que é definida, desta forma, a partir de uma álgebra associativa.

Exemplos |

• Qualquer espaço vetorial V dotado de um colchete de Lie identicamente nulo é uma álgebra de Lie. Tais álgebras de Lie são chamadas de abelianas. Qualquer álgebra de Lie unidimensional sobre um corpo é abeliana, pela antisimetria do colchete de Lie.


• O espaço euclidiano tridimensional R³ munido do colchete de Lie dado pelo produto vetorial de espaços vetoriais é uma álgebra de Lie tridimensional.


• A álgebra de Heisenberg é uma álgebra de Lie tridimensional com geradores x,y,z, cujas relações de comutação são da forma

[x,y]=z,[x,z]=0,[y,z]=0.{displaystyle [x,y]=z,quad [x,z]=0,quad [y,z]=0.,}

• Qualquer grupo de Lie G define uma álgebra de Lie associada g=Lie(G).{displaystyle {mathfrak {g}}=Lie(G).}
  

A definição geral é técnica, mas no caso dos grupos clássicos de matrizes reais, ela pode ser formulada via a aplicação exponencial. A álgebra de Lie g{displaystyle {mathfrak {g}}} consiste das matrizes X da forma ::exp⁡(tX)∈G{displaystyle exp(tX)in G,} : para todos t's reais. A álgebra de Lie de g{displaystyle {mathfrak {g}}} é dada pelo comutador de tais matrizes. Como um exemplo concreto, considere o grupo linear especial SL(n,R), consistindo das matrizes n × n com entradas reais e determinante 1. Este um grupo clássico, e a sua álgebra de Lie tem como elementos todas as matrizes n × n reais e com Traço zero.

Relação com grupos de Lie |

A correspondência entre álgebras de Lie e grupos de Lie é utilizada de diversas maneiras, incluindo-se na elaboração da lista dos grupos de Lie simples e na teoria da representação dos grupos de Lie. Toda representação de uma álgebra de Lie é levantada de forma única para um representação do grupo de Lie conexo e simplesmente conexo correspondente. De forma recíproca, toda representação de um grupo de Lie induz uma representação da sua álgebra de Lie; suas representações estão biunivocamente correspondidas.

Referências |

• San Martin, Luiz A. Barrera. Álgebras de Lie, 2ª edição, Editora da Unicamp, Campinas, 2010. ISBN 978-85-268-0876-8
  


• Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
  


• Brian C. Hall Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
  


• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
  


• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
  


• Kac, Victor G. et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, http://www-math.mit.edu/~lesha/745lec/
  


• Varadarajan, V. S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9
  


• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Sophus Lie, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lie.html
  


• O'Connor, J. J. & Robertson, E.F. Biography of Wilhelm Killing, MacTutor History of Mathematics Archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Killing.html
  


• (2010) Videoaulas sobre Álgebra de Lie Videoteca do Instituto de Física da USP, professor Roldão da Rocha Jr.