Corpo finito
Em matemática e, em especial, na teoria dos corpos, um corpo finito é um corpo em que o conjunto dos elementos é finito.
Corpos finitos também são chamados corpos de Galois em honra ao matemático francês Évariste Galois.
Exemplos |
- Todo anel Zp{displaystyle mathbb {Z} _{p},}
, para p primo, é um corpo, logo é um corpo finito.
- Existe um (único, significando que todos são isomorfos) corpo finito com 4 elementos. Seja K este corpo. É fácil ver que o grupo aditivo (K, +) não pode ser isomorfo a (Z4,+){displaystyle (mathbb {Z} _{4},+),}
(porque, qualquer que seja a operação de multiplicação ⊗{displaystyle otimes ,}
, temos que (1+1)⊗(1+1)=1⊗(1+1)+1⊗(1+1)=1+1+1+1=0{displaystyle (1+1)otimes (1+1)=1otimes (1+1)+1otimes (1+1)=1+1+1+1=0,}
, e um corpo não pode ter divisores de zero). Então temos que (K, +) deve ser isomorfo ao grupo de Klein de ordem 4. Sem perda de generalidade, podemos definir K = { 0,1,α,α+1{displaystyle 0,1,alpha ,alpha +1}
}, e, como a equação x2=x{displaystyle x^{2}=x}
só pode ter 2 raízes (0 e 1), e a equação x2=1{displaystyle x^{2}=1,}
tem 1 como raiz dupla, temos que α2=α+1{displaystyle alpha ^{2}=alpha +1}
. Com isso, completa-se a tabela multiplicativa do corpo de ordem 4. Note-se que α{displaystyle alpha ,}
e α+1{displaystyle alpha +1,}
são as raízes do polinômio (irredutível em Z2{displaystyle mathbb {Z} _{2},}
) x2+x+1{displaystyle x^{2}+x+1,}
.
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