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Em teoria dos anéis, um domínio de integridade D{displaystyle D} é de fatoração única (de onde é chamado de DFU, significando domínio de fatoração única) ou fatorial se:

1. 
   ∀a∈D{displaystyle forall ain D}, se a∉D∗{displaystyle anotin D^{*}} (onde D∗{displaystyle D^{*}} é o conjunto das unidades de D{displaystyle D}) e a≠0{displaystyle anot =0} temos que ∃ci∈D{displaystyle exists c_{i}in D} irredutíveis ∀i∈In{displaystyle forall iin I_{n}} tal que a=∏i=1nci{displaystyle a=prod _{i=1}^{n}c_{i}}.


2. Seja a=∏i=1nci{displaystyle a=prod _{i=1}^{n}c_{i}} e a=∏j=1mdj{displaystyle a=prod _{j=1}^{m}d_{j}} com ci,dj{displaystyle c_{i},d_{j}} irredutíveis ∀i∈In{displaystyle forall iin I_{n}} e∀j∈Im{displaystyle forall jin I_{m}} ⇒m=n{displaystyle Rightarrow m=n} e ∃σ:In→In{displaystyle exists sigma :I_{n}rightarrow I_{n}} bijeção, tal que ci{displaystyle c_{i}} é associado a dσ(i){displaystyle d_{sigma (i)}}.

Exemplos |

• O anel dos números inteiros é um domínio fatorial. Usando o teorema fundamental da aritmética e sabendo que as unidades dos inteiros são 1 e -1 e que ∀a∈Z{displaystyle forall ain mathbb {Z} } a{displaystyle a} é associado a −a{displaystyle -a} temos:

1. 
   ∀a∈Z{displaystyle forall ain mathbb {Z} }, se a∉{−1,1}{displaystyle anotin {-1,1}} e a≠0{displaystyle anot =0} temos que ∃ci∈D{displaystyle exists c_{i}in D} irredutíveis ∀i∈In{displaystyle forall iin I_{n}} tal que a=∏i=1nci{displaystyle a=prod _{i=1}^{n}c_{i}}.


2. Seja a=∏i=1nci{displaystyle a=prod _{i=1}^{n}c_{i}} e a=∏j=1mdj{displaystyle a=prod _{j=1}^{m}d_{j}} com ci,dj{displaystyle c_{i},d_{j}} irredutíveis ∀i∈In{displaystyle forall iin I_{n}} e∀j∈Im{displaystyle forall jin I_{m}} ⇒m=n{displaystyle Rightarrow m=n} e ∃σ:In→In{displaystyle exists sigma :I_{n}rightarrow I_{n}} bijeção, tal que ci{displaystyle c_{i}} é associado a dσ(i){displaystyle d_{sigma (i)}} (isto é, como ci{displaystyle c_{i}} é primo então dσ(i)=ci{displaystyle d_{sigma (i)}=c_{i}} ou dσ(i)=−ci{displaystyle d_{sigma (i)}=-c_{i}}).

• Todo corpo é, trivialmente, um domínio fatorial. Este exemplo não parece muito interessante, mas ganha importância como caso particular do próximo exemplo


• Se D é um domínio fatorial, então o anel de polinômios com coeficientes em D, D[x], também é um domínio fatorial

Unidades e D* |

Ver artigo principal: Unidade (teoria dos anéis)

Seja D{displaystyle D} um anel comutativo, u∈D{displaystyle uin D} é unidade, então ∃u−1∈D{displaystyle exists u^{-1}in D} tal que uu−1=1{displaystyle uu^{-1}=1}. O elemento u−1{displaystyle u^{-1}} é chamado de elemento inverso de u{displaystyle u}.

D∗⊂D{displaystyle D^{*}subset D} é o conjunto de todas as unidades de D{displaystyle D}. Logo u∈D{displaystyle uin D} é unidade, então u∈D∗{displaystyle uin D^{*}}.

• Seja 1∈D{displaystyle 1in D} a identidade. Como 1∗1=1{displaystyle 1*1=1}, então 1{displaystyle 1} é unidade, e é seu próprio elemento inverso.


• Seja D=K{displaystyle D=K} um corpo. ∀a∈K{displaystyle forall ain K}, a{displaystyle a} é unidade. Logo K=K∗{displaystyle K=K^{*}}.


• Seja D=Z{displaystyle D=mathbb {Z} }.

1. 1, -1 são unidades.


2. Como |a||b|=|ab|{displaystyle |a||b|=|ab|} e ∀x∈Z,|x|≥1{displaystyle forall xin mathbb {Z} ,|x|geq 1}. Então∀x∈Z{displaystyle forall xin mathbb {Z} } tal que |x|≥2{displaystyle |x|geq 2}, x{displaystyle x} não é unidade.


3. 
   Z∗={−1,1}{displaystyle mathbb {Z} ^{*}={-1,1}}.

Divisão para anéis e elementos associados |

Sejam D{displaystyle D} um anel comutativo e a,b∈D{displaystyle a,bin D}, a|b{displaystyle a|b} (i. é a{displaystyle a} divide b{displaystyle b}) se ∃q∈D{displaystyle exists qin D}, tal que b=qa{displaystyle b=qa}. E ainda, a,b∈D{displaystyle a,bin D} são associados se a|b{displaystyle a|b} e b|a{displaystyle b|a}.

• Seja D{displaystyle D} um dominio:

1. Seja a,b∈D{displaystyle a,bin D} associados. a|b e b|a⇒∃u,u−1∈D{displaystyle a|b e b|aRightarrow exists u,u^{-1}in D} tal que b=au{displaystyle b=au} e a=bu−1{displaystyle a=bu^{-1}}. Logo a=0⇔b=0{displaystyle a=0Leftrightarrow b=0}.Faça a≠0{displaystyle anot =0}. Então a=auu−1⇒a∗(uu−1−1)=0⇒uu−1−1=0⇒uu−1=1{displaystyle a=auu^{-1}Rightarrow a*(uu^{-1}-1)=0Rightarrow uu^{-1}-1=0Rightarrow uu^{-1}=1}. Logo u{displaystyle u} é unidade. Assim ∃u∈D{displaystyle exists uin D} unidade tal que b=au{displaystyle b=au}.


2. Seja a,b∈D{displaystyle a,bin D} tal que ∃u∈D{displaystyle exists uin D} unidade com b=au{displaystyle b=au}. Logo a|b{displaystyle a|b}. Ainda mais, u{displaystyle u} é unidade, logo ∃u−1∈D{displaystyle exists u^{-1}in D} tal que u∗u−1=1{displaystyle u*u^{-1}=1}.Assim b=au⇒bu−1=auu−1⇒bu−1=a{displaystyle b=auRightarrow bu^{-1}=auu^{-1}Rightarrow bu^{-1}=a}. E por fim b|a{displaystyle b|a}. Logo a|b{displaystyle a|b} e b|a{displaystyle b|a}, logo a,b{displaystyle a,b} são associados.


3. Portanto em um domínio, a,b∈D{displaystyle a,bin D} são associados se e somente se ∃u∈D{displaystyle exists uin D} unidade tal que b=au{displaystyle b=au}.

• Em um corpo K{displaystyle K}, ∀x,y∈K{displaystyle forall x,yin K}, x e y são associados.


• Nos inteiros ∀n∈Z{displaystyle forall nin mathbb {Z} }, −n{displaystyle -n} é seu associado.

Elementos Irredutíveis |

Ver artigo principal: Elemento irredutível

Seja A{displaystyle A} um anel comutativo. Um elemento c∈A{displaystyle cin A} é irredutivel se c≠0{displaystyle cneq 0}, se c∉A∗{displaystyle cnot in A^{*}} e se c=ab{displaystyle c=ab} com a,b∈A{displaystyle a,bin A} então a{displaystyle a} ou b{displaystyle b} é unidade.

Uma definição semelhante a de elemento irredutível é a de elemento primo ja que p∈A{displaystyle pin A} é primo se p≠0{displaystyle pneq 0}, p∉A∗{displaystyle pnot in A^{*}} e se p|ab{displaystyle p|ab} com a,b∈A{displaystyle a,bin A} então p|a{displaystyle p|a} ou p|b{displaystyle p|b}.

• Seja A{displaystyle A} um domínio e p∈A{displaystyle pin A} primo. Seja p=ab⇒p|ab⇒p|a ou p|b{displaystyle p=abRightarrow p|abRightarrow p|a ou p|b}. Sem perda de generalidade, seja p|a⇒∃q∈A{displaystyle p|aRightarrow exists qin A} tal que a=pq⇒a=abq{displaystyle a=pqRightarrow a=abq}. Como a≠0{displaystyle anot =0}, então b{displaystyle b} é unidade. Logo p é irredutivel.


• Seja Z[i5]={a+ib5|a,b∈Z}{displaystyle mathbb {Z} [i{sqrt {5}}]={a+ib{sqrt {5}}|a,bin mathbb {Z} }}. Z[i5]{displaystyle mathbb {Z} [i{sqrt {5}}]} é um domínio, 2,3∈Z[i5]{displaystyle 2,3in mathbb {Z} [i{sqrt {5}}]} são irredutíveis, mas não são primos já que 2∗3=6=(1+i5)(1−i5){displaystyle 2*3=6=(1+i{sqrt {5}})(1-i{sqrt {5}})}.

Referências |

• Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1988. 213 páginas (Projeto Euclides)


• Richard A. Dean. Elementos de Álgebra Abstrata; tradução de Carlos Alberto A. de Carvalho. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1974. 332 páginas. (com texto, problemas e exercícios)

Ligações externas |

• Eric Campos Bastos Guedes; DOMÍNIO FATORIAL - mathfire.sites.uol.com.br
  

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