Elipsoide
Imagem tridimensional de um elipsoide
Em matemática, um elipsoide (pré-AO 1990: elipsóide) é uma superfície cuja equação num sistema de coordenadas cartesianas x-y-z é
- x2a2+y2b2+z2c2=1{displaystyle {x^{2} over a^{2}}+{y^{2} over b^{2}}+{z^{2} over c^{2}}=1}
onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma do elipsoide. Se dois dos números são iguais, o elipsoide é um esferoide; se os três forem iguais, trata-se de uma esfera.
Supondo a ≥ b ≥ c, então:
- a ≠ b ≠ c : o elipsoide é escaleno
- c = 0 : o elipsoide é plano (duas elipses em simetria)
- b = c : esferoide em forma de charuto
- a = b : esferoide em forma de comprimido
- a = b = c : esfera
Os esferoides resultam da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos.
Índice
1 Volume
2 Área da superfície
3 Transformações lineares
4 Aplicação em cartografia
5 Ver também
6 Ligações externas
7 Referências
Volume |
O volume de um elipsoide é dado por[1]:
- 43πabc{displaystyle {frac {4}{3}}pi abc}
Área da superfície |
A área da superfície tem uma fórmula mais complexa, dada por:
- 2π(c2+bc2a2−c2F(θ,m)+ba2−c2E(θ,m)){displaystyle 2pi left(c^{2}+{frac {bc^{2}}{sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(theta ,m)+b{sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(theta ,m)right)}
em que
- m=a2(b2−c2)b2(a2−c2){displaystyle m={frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}}
- θ=arcsin(e){displaystyle theta =arcsin {left(eright)}}
- e=1−c2a2{displaystyle e={sqrt {1-{frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}
e F(θ,m){displaystyle F(theta ,m)}
Fórmulas aproximadas:
- Elipsoide plano: =2π(ab){displaystyle =2pi left(abright)}
- Se b=c{displaystyle b=c}
: ≈2π(c2+acarcsin(e)e){displaystyle approx 2pi left(c^{2}+ac{frac {arcsin {left(eright)}}{e}}right)}
- Se a=b{displaystyle a=b}
: ≈2π(a2+c2arctanh(e)e){displaystyle approx 2pi left(a^{2}+c^{2}{frac {operatorname {arctanh} {left(eright)}}{e}}right)}
- Se o elipsoide é escaleno: ≈4π(apbp+apcp+bpcp3)1/p{displaystyle approx 4pi left({frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}right)^{1/p}}
onde p ≈ 1.6075 resulta num erro relativo máximo de cerca de 1.061% (fórmula de Knud Thomsen); um valor de
p = 8/5 = 1.6 resulta bem para praticamente todos os elipsoides esferoides, com erro relativo máximo de 1.178% (fórmula de David W. Cantrell).
Transformações lineares |
Ao aplicar uma transformação linear invertível a uma esfera, obtém-se um elipsoide
A intersecção de um elipsoide com um plano é um conjunto vazio, um ponto ou uma elipse.
Aplicação em cartografia |
Nas ciências cartográficas, os elipsoides são utilizados como aproximação da forma irregular da Terra, já que representam o achatamento nos pólos, ao contrário das esferas. As projecções cartográficas têm como domínio coordenadas elipsoidais.
Ver também |
- Elipse
- Paraboloide
- Hiperboloide
- Elipsoide de referência
- Geoide
- Lugar geométrico
Ligações externas |
- Applet Interativo 3D em Java do elipsoide
Referências
↑ F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, and C. W. Clark, (editores), 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press)
