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Linhas e planos passando através da origem são subespaços lineares no espaço euclidiano R³. Subespaços são estudados em álgebra linear.

Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da matemática como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de equações lineares e matrizes.

Índice

1 História

2 Sistemas de equações lineares

3 Geometria analítica

4 Espaços vetoriais

5 Transformação linear

6 Teoremas fundamentais

7 Aplicações

8 Referências

9 Ver também
- 9.1 Livros online

10 Ligações externas

História |

Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, como a eliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II d.c., embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas separadamente até os séculos XVII e XVIII. O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da álgebra linear.

O assunto começou a tomar sua forma atual em meados do século XIX, que viu muitas noções e métodos de séculos anteriores abstraídas e generalizadas como o início da álgebra abstrata. Matrizes e tensores foram introduzidos como objetos matemáticos abstratos e bem estudados na virada do século XX. O uso de tais objetos na relatividade geral, estatística e mecânica quântica fez muito para espalhar o assunto para além da matemática pura.

Sistemas de equações lineares |

Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis.

Geometria analítica |

A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas.

Espaços vetoriais |

Espaços vetoriais são um tema central na matemática moderna; assim, a álgebra linear é largamente usada em álgebra abstrata e análise funcional. A álgebra linear também tem sua representação concreta em geometria analítica.

Transformação linear |

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Teoremas fundamentais |

Teorema do Núcleo e da Imagem

Teorema Espectral

Teorema dos Valores Singulares

Teorema de Cayley-Hamilton

Todo espaço vetorial possui uma base.^[1]

Quaisquer duas bases do espaço vetorial têm a mesma cardinalidade; equivalentemente, a dimensão de um espaço vetorial é bem definido.^[2]

Uma matriz quadrada é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero.^[3]

A matriz é inversível se e somente se a transformação linear representada pela matriz é um isomorfismo.

Aplicações |

Programação linear

Processamento de imagens

Física matemática

Estatística

Referências

↑ The existence of a basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.

↑ Dimension theorem for vector spaces

↑
http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php

Ver também |

O Wikilivros tem um livro chamado Álgebra linear

Regra de Cramer

Subespaço vetorial

Vetor

Equação linear

Livros online |

J. Santos, Reginaldo, Introdução à Álgebra Linear

Álgebra Lineal: Conceptos Básicos

Introducción al Álgebra Lineal en Contexto por José Arturo Barreto

Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra

Zani, Sérgio L., "Álgebra Linear"

Malajovich, Gregório, "Álgebra Linear"

Pellegrini, Jerônimo C., "Álgebra Linear"

Treil, Sergei, "Linear Algebra Done Wrong"

Connell, Edwin H., Elements of Abstract and Linear Algebra

Hefferon, Jim, Linear Algebra

Matthews, Keith, Elementary Linear Algebra

Sharipov, Ruslan, Course of linear algebra and multidimensional geometry

Ligações externas |

Calculadora online para solucionar um sistema de equações usando a regra de Cramer

[1] The existence of a basis is straightforward for finitely generated vector spaces, but in full generality it is logically equivalent to the axiom of choice.

[2] Dimension theorem for vector spaces

[3] 
http://www.pragmaware.net/articles/matrices/index.php

v d e Tópicos principais sobre álgebra
Geral	Álgebra elementar Álgebra abstrata Álgebra comutativa Teoria da ordem Teoria das categorias K-Teoria
Estruturas algébricas	Grupo – Teoria dos grupos Anel – Teoria dos anéis Corpo – Teoria dos corpos Álgebra universal
Álgebra linear	Teoria de matrizes Vetor – Espaço vetorial Produto interno – Espaço com produto interno Espaço de Hilbert

v d e Tópicos relacionados com álgebra linear
Conceitos básicos	Escalar Vetor Espaço vetorial Projeção de um vetor Espaço vetorial gerado Transformação linear Projeção Independência linear Combinação linear Base Espaço coluna Espaço linha Espaço dual Ortogonalidade Núcleo Valor próprio Método dos mínimos quadrados Produto diádico Espaço com produto interno Produto escalar Transposição Processo de Gram-Schmidt Sistema de equações lineares
Matrizes	Matriz Produto de matrizes Decomposição LU Menor Posto matricial Regra de Cramer Matriz inversa Eliminação de Gauss Matriz de transformação Matriz em bloco Matriz unimodular
Álgebra linear numérica	Vírgula flutuante Estabilidade numérica BLAS Matriz esparsa Comparação de bibliotecas de álgebra linear Comparação de softwares de análise numérica

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