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Representação gráfica da interseção entre dois conjuntos

Em teoria dos conjuntos, a interseção ^{(português brasileiro)} ou intersecção ^{(português europeu)} (AO 1990: interseção^[1] ou intersecção),^[2] é um conjunto de elementos que, simultaneamente, pertencem a dois ou mais conjuntos, representado por ∩.

Por exemplo, se o conjunto A possui os elementos {1,2,3,4,5} e o conjunto B possui os elementos {2,4,6,8}, então interseção do conjunto A com o conjunto B será igual a {2,4} .

Definição |

Pela teoria básica de conjuntos, define-se A∩B{displaystyle Acap B,} por:

A∩B={x|x∈A∧x∈B}{displaystyle Acap B={x|xin Aland xin B},}

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é valida. Devemos usar o axioma da separação com a fórmula Φ=x∈w1{displaystyle Phi =xin w_{1},}:

∀z∀w1∃y∀x(x∈y⟺(x∈z∧x∈w1)){displaystyle forall zforall w_{1}exists yforall x(xin yiff (xin zland xin w_{1}))}

Esse axioma garante a existência da interseção (y=z∩w1{displaystyle y=zcap w_{1},}); o enunciado do axioma da separação é tal que, usando-se o axioma da extensão, pode-se mostrar que y é único.

Em outras palavras, provou-se que

∀A∀B∃!(A∩B)∀x(x∈(A∩B)⟺(x∈A∧x∈B)){displaystyle forall Aforall Bexists !(Acap B)forall x(xin (Acap B)iff (xin Aland xin B))}

Propriedades |

Considerando-se que (x∈A∧x∈B)⟺(x∈B∧x∈A){displaystyle (xin Aland xin B)iff (xin Bland xin A),} e que ((x∈A∧x∈B)∧x∈C)⟺(x∈A∧(x∈B∧x∈C)){displaystyle ((xin Aland xin B)land xin C)iff (xin Aland (xin Bland xin C)),}, prova-se que:

∀A∀B(A∩B=B∩A){displaystyle forall Aforall B(Acap B=Bcap A)}

∀A∀B∀C((A∩B)∩C=A∩(B∩C)){displaystyle forall Aforall Bforall C((Acap B)cap C=Acap (Bcap C))}

Como o conjunto vazio ∅{displaystyle varnothing ,} tem a propriedade que ∀x(x∉∅){displaystyle forall x(xnotin varnothing ),}, temos que:

∀A(A∩∅=∅){displaystyle forall A(Acap varnothing =varnothing ),}

Deve-se tomar cuidado ao dizer que ∩{displaystyle cap ,} é associativa e comutativa, porque, a rigor, associatividade e comutatividade são propriedades de operações binárias, e a interseção foi definida para todos conjuntos - tratar todos conjuntos como um conjunto gera paradoxos.

Interseções arbitrárias |

Seja M uma coleção não-vazia de conjuntos (em teoria dos conjuntos na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, todo conjunto tem como elementos outros conjuntos, então basta dizer que M não é vazio). Então podemos definir a interseção de todos os conjuntos de M:

⋂X∈MX{displaystyle bigcap _{Xin M}X,}.

como sendo o conjunto cujos elementos x são elementos de todos os elementos de M:

x∈⋂X∈MX⟺(∀Y∈M⟹x∈Y){displaystyle xin bigcap _{Xin M}Xiff (forall Yin Mimplies xin Y),}

O problema é que essa definição não é rigorosa, mas isso pode ser resolvido usando-se o axioma da união:

⋂X∈MX={x∈⋃X∈MX|(∀Y∈M⟹x∈Y)}{displaystyle bigcap _{Xin M}X={xin bigcup _{Xin M}X|(forall Yin Mimplies xin Y)},}

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Referências