Vrftsjtryk

Esta página ou secção não cita fontes confiáveis e independentes, o que compromete sua credibilidade (desde fevereiro de 2016). Por favor, adicione referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Conteúdo sem fontes poderá ser removido. —Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)

Em matemática, uma sucessão de Cauchy ou seqüência de Cauchy é uma sucessão tal que a distância entre os termos vai se aproximando de zero. Deve o seu nome ao matemático francês Augustin Louis Cauchy. Intuitivamente é uma sequência onde seus termos vão ficando cada vez mais próximos.

Definição para números reais |

Uma sequência (xn)n∈N{displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }} é chamada de sequência de Cauchy se para qualquer número positivo ϵ{displaystyle epsilon } existe um natural n0{displaystyle n_{0}} tal que se n,m{displaystyle n,m} são maiores do que n0{displaystyle n_{0}} a distância entre xn{displaystyle x_{n}} e xm{displaystyle x_{m}} é menor do que ϵ{displaystyle epsilon }. Em linguagem simbólica temos:

∀ϵ>0 ∃n0∈N:n,m≥n0⇒|xn−xm|<ϵ{displaystyle forall epsilon >0 exists n_{0}in mathbb {N} :n,mgeq n_{0}Rightarrow |x_{n}-x_{m}|<epsilon }

Nos reais uma sequência é convergente se, e somente se, for de Cauchy: esta propriedade é chamada de completude e torna os Reais um espaço completo.

Definição para espaços métricos |

Depois de definir de Cauchy para os reais é simples estender a definição para espaços métricos quaisquer.

Se M{displaystyle M} é um espaço métrico e d:MxM→R{displaystyle d:MxMrightarrow mathbb {R} } sua métrica dizemos que (xn)n∈N⊂M{displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }subset M} diz-se de Cauchy se:

∀ϵ>0 ∃n0∈N |n,m≥n0⇒d(xn,xm)<ϵ{displaystyle forall epsilon >0 exists n_{0}in mathbb {N} |n,mgeq n_{0}Rightarrow d(x_{n},x_{m})<epsilon }

Em espaços normados , esta definição se escreve como:

∀ϵ>0 ∃n0∈N |n,m≥n0⇒|xn−xm|<ϵ{displaystyle forall epsilon >0 exists n_{0}in mathbb {N} |n,mgeq n_{0}Rightarrow |x_{n}-x_{m}|<epsilon }

Exemplos |

• 
  (xn)n∈N∗{displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N^{*}} }} em R{displaystyle mathbb {R} }, dada por xn=1/n,∀n∈N{displaystyle x_{n}=1/n,forall nin mathbb {N} }.

De fato, dado ϵ>0{displaystyle epsilon >0}, pela propriedade arquimediana, podemos encontrar n0{displaystyle n_{0}} tal que 1/n0<ϵ{displaystyle 1/n_{0}<epsilon }, então se n,m≥n0{displaystyle n,mgeq n_{0}}, sem perda de generalidade, podemos supor que n≥m{displaystyle ngeq m}, assim, teremos 0<1/n≤1/m≤1/n0{displaystyle 0<1/nleq 1/mleq 1/n_{0}}. De onde concluimos que |1/n−1/m|≤|1/n0−0|=1/n0<ϵ{displaystyle |1/n-1/m|leq |1/n_{0}-0|=1/n_{0}<epsilon }, portanto (xn){displaystyle (x_{n})} é uma seqüência de Cauchy.

Convergência e completude |

Ver artigo principal: Espaço completo

Qualquer sucessão convergente (no sentido usual) é de Cauchy, no entanto existem espaços contendo sucessões de Cauchy não convergentes. Por exemplo, a sucessão (1/n){displaystyle (1/n)} é de Cauchy, mas não é convergente no intervalo (0,1) (embora o seja em R{displaystyle mathbb {R} }). A um espaço onde todas as sucessões de Cauchy são convergentes chama-se um espaço completo.

Dado E um espaço métrico qualquer, é possível construir uma extensão de E que é um espaço métrico completo. Esta extensão é única (no sentido categorial), ou seja, dadas duas completudes de E elas são isométricas.

Generalizações |

Espaços Vectoriais Topológicos |

Em um espaço vectorial topológico genérico, não podemos usar esta definição, porque uma métrica pode não existir. No entanto, como uma topologia corresponde à noção intuitiva de proximidade, pode-se definir o que é uma sucessão de Cauchy em um espaço vectorial topológico como uma sucessão xi{displaystyle x_{i},} em que, a partir de qualquer n, os termos seguintes vão ficando cada vez mais próximos.

Ou seja, qualquer que seja uma vizinhança do vector nulo, termos suficientemente altos da sucessão vão diferir entre si de um vector que está nesta vizinhança.

Em termos rigorosos, seja τ{displaystyle tau ,} a topologia. Isto se escreve assim:

∀A∈τ,(0∈A⟹∃n,∀i,j,(i>n∧j>n⟹xi−xj∈A)){displaystyle forall Ain tau ,(0in Aimplies exists n,forall i,j,(i>nland j>nimplies x_{i}-x_{j}in A)),}

Se a topologia do espaço vectorial topológico é induzida por uma métrica d invariante por translação então as duas noções são equivalentes.