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De cima para baixo: os espaços vermelho A, magenta B, amarelo C e laranja D são todos conexos, enquanto o espaço verde E (composto pelos subconjuntos E1, E2, E3 e E4) é desconexo. Para além disso, A e B são também simplesmente conexos (género 0), enquanto C e D não o são: C tem género 1 e D tem género 4.

Em topologia e ramos relacionados da matemática, conexidade ^{(português brasileiro)} ou conectividade ^{(português europeu)} é a propriedade de um espaço conexo, isto é, um espaço topológico que não pode ser representado como a união de dois ou mais conjuntos abertos disjuntos e não-vazios.

Podemos ainda dizer que um conjunto X{displaystyle X} é conexo quando não admite outra cisão além da trivial. Neste caso se existirem conjuntos abertos A,B⊂X{displaystyle A,Bsubset X} tais que X=A∪B{displaystyle X=Acup B} com A∩B=∅{displaystyle Acap B=varnothing } então A=∅{displaystyle A=varnothing } ou B=∅.{displaystyle B=varnothing .}

Observemos que um subconjunto X{displaystyle X} admite uma cisão não-trivial quando existem conjuntos abertos A,B⊂X{displaystyle A,Bsubset X} tais que X=A∪B{displaystyle X=Acup B} com A∩B=∅.{displaystyle Acap B=varnothing .} Neste caso dizemos que X{displaystyle X} é desconexo.

Estas definições são válidas inclusive para o caso particular de X⊂Rn.{displaystyle Xsubset mathbb {R} ^{n}.}

Do ponto de vista da topologia dizemos que, um espaço topológico é desconexo se contém dois abertos complementares não vazios. Em caso contrário diz-se conexo.

Os subconjuntos ∅{displaystyle varnothing } e X{displaystyle X} são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de X.{displaystyle X.} Se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então X{displaystyle X} é conexo. Por outro lado, se existe A{displaystyle A} aberto e fechado com ∅⊂A⊂X,{displaystyle varnothing ,subset Asubset X,} então X{displaystyle X} é desconexo.

Definição Formal |

Um espaço topológico X{displaystyle X} é dito desconexo se for união de dois conjuntos disjuntos abertos não-vazios. Caso contrário, X{displaystyle X} é dito conexo.

Propriedades |

• Todo conjunto X⊂Rn{displaystyle Xsubset mathbb {R} ^{n}} admite pelo menos a cisão trivial X=X∪∅.{displaystyle X=Xcup varnothing .}
  


• A união de qualquer família de subespaços conexos de X,{displaystyle X,} cuja intersecção é não vazia, é um subespaço conexo de X{displaystyle X}'.


• A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo.


• Todo conjunto homeomorfo a um conjunto conexo é também um conjunto conexo.

Componentes conexas |

• Uma componente conexa de um espaço topológico é um subespaço conexo maximal.

Exemplos |

Um espaço conexo que não é conexo por arcos.

• 
  R{displaystyle mathbb {R} } e C{displaystyle mathbb {C} } são conexos.


• 
  N,{displaystyle mathbb {N} ,} Z{displaystyle mathbb {Z} } e Q{displaystyle mathbb {Q} } são desconexos.


• No R2,{displaystyle mathbb {R} ^{2},} o gráfico da função

f(x)={sen1x,se x≠00,se x=0{displaystyle f(x)=left{{begin{matrix}{mbox{sen}}{frac {1}{x}},&{mbox{se }}xneq 0\0,&{mbox{se }}x=0end{matrix}}right.}

é conexo. Este é o contra-exemplo padrão de um espaço conexo que não é conexo por arcos.

Ver também |

• conexidade por arcos


• 
  conexidade simples.

Referências

• 
  Lima, Elon L. (2006), Curso de Análise Vol.2, ISBN 85-244-0049-8, Rio De Janeiro: IMPA .


• 
  Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .

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