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Präzession eines rotierenden Kreisels

Die Präzession bezeichnet die Richtungsänderung, die die Rotationsachse eines rotierenden Körpers (Kreisel) ausführt, wenn eine äußere Kraft ein Drehmoment senkrecht zu dieser Achse ausübt. Dabei beschreibt die Rotationsachse einen Umlauf auf dem Mantel eines gedachten Kegels mit fester Kegelachse. Anschaulich zeigt sich die Präzession beim Tischkreisel, der trotz Schiefstellung nicht umkippt, solange er rotiert.

Speziell in der Astronomie ist mit Präzession die Richtungsänderung der Erdachse gemeint, die eine Folge der Massenanziehung des Mondes und der Sonne in Verbindung mit der Abweichung der Erdfigur von der Kugelform ist. Sie äußert sich durch das Fortschreiten des Frühlingspunkts entlang der Ekliptik, woraus sich auch die Bezeichnung Präzession herleitet.

Grundlagen |

Kippen eines Kreisels (τ = Drehmoment, Ω = ω_P)

Wenn beim rotierenden Kreisel versucht wird, seine Rotationsachse zu kippen, dann zeigt sich eine Kraftwirkung senkrecht zur Kipprichtung der Rotationsachse. Je schneller der Kreisel rotiert, desto größer sind die auftretenden Kräfte. Erklären lässt sich das mit dem hohen Drehimpuls des Kreisels, der in seiner Richtung geändert werden muss. Dessen Änderung erfolgt in der Richtung, in der die Rotationsachse gekippt wird, und erfordert ein Drehmoment, das in der Kippebene liegt. Das aufzubringende Drehmoment bedingt die Kraftwirkung senkrecht zur Kipprichtung.

Tischkreisel (τ = Drehmoment, F_g = Gewichtskraft, −F_g = Auflagekraft)

Es sei ein rotierender Tischkreisel angenommen, der schräg steht. Aufgrund seiner Masse wirkt auf den Schwerpunkt des Kreisels seine Gewichtskraft und eine gleich große entgegengerichtete Kraft am Auflagepunkt. Das daraus resultierende Drehmoment

M=mgrsin⁡α{displaystyle M=m,g,r,sin alpha }

ließe einen nicht rotierenden Kreisel umkippen.
Dabei gibt α{textstyle alpha } den Winkel zwischen Rotationsachse und Schwerkraft an, r ist der Abstand zwischen Auflagepunkt und Schwerpunkt des Kreisel sowie m die Masse und g die Erdbeschleunigung.

Es ist bekannt, dass schief stehende Kreisel den charakteristischen Präzessionskegel mit der Kegelachse längs der Schwerkraft überstreichen. Daher sei eine Winkelgeschwindigkeit ω→P{textstyle {vec {omega }}_{text{P}}} angenommen, mit der die Rotationsachse des Kreisels geschwenkt wird und wodurch das Kreiselmoment M→K{displaystyle {vec {M}}_{text{K}}} auftritt. Diese Winkelgeschwindigkeit sei nun längs der Schwerkraft ausgerichtet und soll einen Betrag aufweisen, dass sie das Drehmoment, wegen dessen der Kreisel kippt, aufhebt. L→{displaystyle {vec {L}}} gibt den Drehimpuls des Kreisels an.

M→K=ω→P×L→{displaystyle {vec {M}}_{text{K}}={vec {omega }}_{text{P}}times {vec {L}}}

Das Kreiselmoment liegt in der Ebene senkrecht zur Schwerkraft und zeigt in entgegengesetzte Richtung wie das Drehmoment, das den Kreisel kippt. Durch Überführung des Kreuzprodukts in die Betragsschreibweise ergibt sich das Kreiselmoment im Betrag und lässt sich mit dem Drehmoment aus der Gewichtskraft gleichsetzen. Durch Umstellen folgt aus den Kreiseldaten die Winkelgeschwindigkeit der Präzessionsbewegung.

MK=LωPsin⁡αmgrsin⁡α=LωPsin⁡α⇔ωP=mgrL=mgrISωS{displaystyle {begin{aligned}M_{text{K}}&=L,omega _{text{P}},sin alpha \m,g,r,sin alpha &=L,omega _{text{P}},sin alpha \Leftrightarrow omega _{text{P}}&={frac {m,g,r}{L}}\&={frac {m,g,r}{I_{text{S}},omega _{text{S}}}}end{aligned}}}

Dabei stellt I_S das Trägheitsmoment dar und ω_S die Winkelgeschwindigkeit des Kreisels. Das Kreiselmoment ist eine Näherungsformel für ωS≫ωP{displaystyle omega _{text{S}}gg omega _{text{P}}} und so auch die resultierende Formel.

Die resultierende Winkeländerung pro Zeit wird bei der Rotation der Erde als Präzessionskonstante bezeichnet.

Präzession der Erdachse |

Prinzip und Beschreibung |

Gezeitenkräfte von Mond und Sonne Mond (rot) auf Erdellipsoid

Präzessionsbewegung (P) der Erdachse (R) mit (stark überzeichneter) Nutation N

Die Erde hat keine exakte Kugelform, sondern infolge ihrer Rotation annähernd die Form eines abgeplatteten Ellipsoids. Der äquatoriale Halbmesser ist um rund ein Dreihundertstel oder 21,4 km größer als die Entfernung der Pole vom Erdmittelpunkt. Der „Äquatorwulst“ (englisch equatorial bulge), durch den das Erdellipsoid sich von einer Kugel unterscheidet, bewirkt, dass die Gezeitenkräfte von Mond und Sonne ein Drehmoment erzeugen, das die Erdachse aufzurichten versucht und zur Präzession der Erdachse führt (lunisolare Präzession, in der Zeichnung mit P markiert). Die Erdachse vollführt dadurch einen Kegelumlauf um eine Achse, die rechtwinklig auf der Ekliptikebene steht. Der (nahezu) konstante Winkel zwischen der Erdachse und der Achse des Kegels ist die Schiefe der Ekliptik; er beträgt derzeit etwa 23,44°. Ein voller Umlauf dieser Präzessionsbewegung der Erdachse dauert etwa 25.700 bis 25.850 Jahre. Dieser Zeitraum wird Zyklus der Präzession (auch Platonisches Jahr) genannt und durch die Präzessionskonstante beschrieben.

Auch die Ebene der Mondbahn, die gegenüber der Ekliptik um rund 5° geneigt ist, weist eine Präzessionsbewegung mit einer Periodenlänge von 18,6 Jahren auf; d. h. ihr Normalenvektor beschreibt einen Kegelumlauf mit dieser Umlaufdauer um den Normalenvektor der Ekliptik. Die dadurch verursachte Änderung des Drehmoments hat ebenfalls eine Auswirkung auf die Richtungsänderung der Erdachse: Dem kegelförmigen Präzessionsumlauf überlagert sich eine periodische Abweichung mit einer Amplitude von 9,2″ und einer Periode von 18,6 Jahren. Diese nickende Bewegung der Erdachse heißt Nutation. In der Zeichnung ist sie mit N bezeichnet. Daneben gibt es noch weitere Nutationsanteile mit kürzeren Perioden und Amplituden unter 1″. (Der hier verwendete astronomische Begriff der Nutation ist nicht identisch mit dem in der Mechanik verwendeten Begriff der Nutation in der Kreiseltheorie.)

Auswirkungen |

Zusammen mit dem Kegelumlauf der Erdachse dreht sich auch die zur Erdachse rechtwinklig liegende Ebene, der Äquator. Dabei dreht sich die zum Frühlingspunkt gerichtete Gerade, in der sich der Äquator mit der Ekliptik unter dem Winkel von derzeit etwa 23,43° schneidet, auf der Ekliptik mit einer Umlaufdauer von ebenfalls rund 25.800 Jahren im Uhrzeigersinn (bei Betrachtung aus der Richtung des nördlichen Poles). Seine Winkelgeschwindigkeit von 360° in 25.800 Jahren oder rund 50″ pro Jahr ist die Präzessionskonstante. Der Frühlingspunkt ist eine Bezugsachse sowohl des äquatorialen als auch des ekliptikalen Koordinatensystems, deren räumliche Orientierungen sich somit infolge der Präzession allmählich ändern. Damit ändern sich auch die auf das äquatoriale System bezogenen Koordinaten der Fixsterne. Dieser Effekt ist schon seit über zweitausend Jahren bekannt. Der griechische Astronom Hipparchos verglich etwa um 150 v. Chr. die Sternörter seines neu gemessenen Kataloges mit den Daten aus mehrere hundert Jahre alten Aufzeichnungen und stellte Unterschiede fest. Die Babylonier dürften das Phänomen der Präzession aber schon etwa 170 Jahre früher entdeckt haben. Jedoch erst im 16. Jahrhundert hat Nikolaus Kopernikus die Neigung der Erdachse und ihre Bewegung als Ursache für die Verschiebung des Frühlingspunkts erkannt.^[1]

Die Präzession der Erdachse wirkt sich auch auf die Definition eines Jahres aus. Allgemein versteht man unter einem Jahr den Zeitraum, in dem die in der Ekliptik umlaufende Gerade von der Sonne zur Erde (oder von der Erde zur Sonne) ihre Richtung um 360° (gegen den Uhrzeigersinn, bei Betrachtung aus der Richtung des nördlichen Poles) ändert. Beim siderischen Jahr wird diese Richtungsänderung auf eine Bezugsachse bezogen, die sich nicht entlang der Ekliptik bewegt. Beim tropischen Jahr ist die Bezugsachse dagegen der Frühlingspunkt. Da der Frühlingspunkt selbst sich aufgrund der Präzession der Erdachse mit einer Winkelgeschwindigkeit von 50″ pro Jahr im Uhrzeigersinn auf der Ekliptik verlagert, ist die resultierende Winkelgeschwindigkeit der Geraden von der Erde zur Sonne relativ zum Frühlingspunkt etwas größer und damit ein tropisches Jahr etwas kürzer als ein siderisches Jahr. Weil der Frühlingspunkt innerhalb von 25.800 Jahren einen Umlauf von 360° ausführt, ist in diesem Zeitraum die Anzahl der Umläufe der Geraden von der Erde zur Sonne relativ zum Frühlingspunkt um 1 größer als relativ zu einer festen Bezugsachse. Die Differenz zwischen einem tropischen und einem siderischen Jahr summiert sich also in 25.800 Jahren zu einem ganzen Jahr; folglich ist ein tropisches Jahr um ein 25.800stel Jahr ≈ 20 Minuten kürzer als ein siderisches Jahr. Für die Jahreszeiten auf der Erde ist nicht die Richtung der Sonne in Bezug auf ein absolut festliegendes Koordinatensystem, sondern in Bezug auf das äquatoriale Koordinatensystem maßgeblich, dessen polare Achse die präzedierende Erdachse ist; so ist etwa der Frühlingsanfang immer dann, wenn die Sonne in der Richtung des Frühlingspunktes steht, ungeachtet dessen, dass dieser sich langsam bewegt. Deshalb ist das Kalenderjahr durch die geltende Schaltjahrsregelung so festgelegt, dass es sich im langfristigen Mittel gut an das tropische Jahr anpasst.

Gegenwärtig zeigt die Erdachse recht genau in Richtung des Polarsterns, so dass alle Fixsterne scheinbar eine Kreisbahn um ihn beschreiben. Als Folge der Präzession liegt der Himmelspol aber nicht fest beim Polarstern, sondern er wandert auf einem Kreis mit einem Radius von etwa 23,5° (konstante Schiefe der Ekliptik angenommen) um den Ekliptikpol. In 12.000 Jahren wird er sich bei der Wega im Sternbild Leier befinden, dem zweithellsten nördlichen Stern, und das Sternbild „Großer Hund“ beispielsweise wird von Mitteleuropa aus nicht mehr sichtbar sein, vom Sternbild Orion nur noch die sogenannten Schultersterne.

Im Rahmen der Milanković-Zyklen gibt es einen Einfluss der Präzession auf die Eiszeiten, über dessen Ausmaß aber noch Unklarheit herrscht.

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ Nicolaus Copernicus: De revolutionibus orbium coelestium, 3. Buch, Kapitel 1
   

Weblinks |

• Präzession der Erdachse in der Astronomie-Bibliothek auf Astronomie.de


• Präzession eines seitlich von seinem Schwerpunkt aufgehängten rotierenden Rades


• animierte Java-Simulation des einseitig unterstützten Kreisels mit sämtlichen Parametern (Anfangsbedingungen, Präzession, Nutation, Reibung am Aufstandspunkt, Reibung in der Kreiselachse)


• Video: Präzession eines rotierenden Rades. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 2003, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-14828.