Vrftsjtryk

Physikalische Größe
Name	Trägheitstensor
Größenart	Trägheitsmoment
Formelzeichen	Θ,I{displaystyle mathbf {Theta } ,I}
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI kg⋅m2{displaystyle kg,cdot ,m^{2}} M⋅L2{displaystyle M,cdot ,L^{2}}
Anmerkungen
Der Trägheitstensor ist ein kovarianter und positiv definiter Tensor 2. Stufe.

Der Trägheitstensor ist in der Mechanik die Eigenschaft eines starren Körpers, die seine Trägheit gegenüber Änderungen seines Drehimpulses beschreibt. Sein Formelzeichen ist Θ{displaystyle mathbf {Theta } } oder I{displaystyle mathbf {I} }. Er ist ein kovarianter Tensor 2. Stufe und für ausgedehnte Körper positiv definit.

Mit Hilfe des Trägheitstensors lässt sich der Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls L→{displaystyle {vec {L}}} eines Körpers und seiner Winkelgeschwindigkeit ω→{displaystyle {vec {omega }}} in vektorieller Form als Matrixprodukt des Trägheitstensors mit der Winkelgeschwindigkeit darstellen:

L→=Θ⋅ω→{displaystyle {vec {L}}=mathbf {Theta } cdot {vec {omega }}}

Der Wert des Trägheitstensors hängt von der Wahl seines Bezugspunkts ab. Dieser wird zur Berechnung des Trägheitstensors meist auf den Massenmittelpunkt des Körpers festgelegt. Diese Wahl erleichtert die separate Berechnung von Eigen- und Bahndrehimpuls. Mit Hilfe des steinerschen Satzes lässt sich aus dem Trägheitstensor für einen Bezugspunkt der für einen beliebigen Bezugspunkt berechnen.

In der Koordinatendarstellung des Trägheitstensors bezüglich einer Orthonormalbasis mit dem Koordinatenursprung im Bezugspunkt enthält er die Trägheits- und Deviationsmomente für Rotationsachsen, die parallel zu den Basisvektoren sind. Durch Koordinatentransformation erhält man die Trägheits- und Deviationsmomente bezüglich anderer Achsen durch den Bezugspunkt.

Für bestimmte Drehachsen ist der Drehimpuls parallel zur Winkelgeschwindigkeit. Diese Achsen heißen Hauptträgheitsachsen. Zu jedem Körper gibt es mindestens drei aufeinander senkrecht stehende Hauptträgheitsachsen. Sie sind parallel zu den Eigenvektoren des Trägheitstensors. Die entsprechenden Eigenwerte des Trägheitstensors nennt man die Hauptträgheitsmomente des Körpers. Rotiert der Körper um eine andere Achse als eine der Hauptträgheitsachsen, sind sein Drehimpuls und seine Rotationsachse im Allgemeinen nicht parallel. Dann ist als Folge der Drehimpulserhaltung die Rotationsachse nicht fest, sondern rotiert ebenfalls: der Körper ‚eiert‘. Hält man die Rotationsachse in diesem Fall durch Zwang fest, wirken aufgrund der Unwucht Kräfte auf die Lager und der Drehimpuls ist veränderlich.

Trägheitstensoren einfacher Körper finden sich in der Liste von Trägheitstensoren.

Analogie zur Masse bei translatorischer Bewegung |

Der Trägheitstensor hat in den Bewegungsgleichungen der Mechanik eine vergleichbare Position bezüglich der Rotation, wie die Masse bezüglich der Translation.

Rotation	Translation
L→⏟Drehimpuls=Θ⏟Tra¨gheitstensor⋅ω→⏟Winkelgeschindigkeit{displaystyle underbrace {vec {L}} _{mathrm {Drehimpuls} }=underbrace {mathbf {Theta } } _{mathrm {Tr{ddot {a}}gheitstensor} }cdot underbrace {vec {omega }} _{mathrm {Winkelgeschindigkeit} }}	p→⏟Impuls=m⏟Masse⋅v→⏟Geschwindigkeit{displaystyle underbrace {vec {p}} _{mathrm {Impuls} }=underbrace {m} _{mathrm {Masse} }cdot underbrace {vec {v}} _{mathrm {Geschwindigkeit} }}

Jenseits der formal gleichen Position als Ausdruck der Trägheit, die kinematische Größe (Winkel-)geschwindigkeit mit der dynamischen Größe (Dreh-)impuls zu verknüpfen, bestehen wesentliche Unterschiede, die die Rotationen gegenüber den Translationen auszeichnen:

• die Masse ist eine skalare Größe, der Trägheitstensor ein Tensor zweiter Stufe.


• Impuls und Geschwindigkeit sind immer parallel, Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen nicht.


• Die Masse ist in allen Bezugssystemen zeitlich konstant, der Trägheitstensor hängt im Allgemeinen von der Ausrichtung des Körpers und seiner Lage zum Bezugspunkt ab. Da diese sich ändern können, sind die Komponenten zeitabhängig, während bei Translationen die Masse konstant ist. Nur in einem körperfesten Bezugssystem sind die Komponenten des Trägheitstensors konstant.

Trägheitstensor für eine Punktmasse |

Herleitung und Definition |

Für den Drehimpuls L→{displaystyle {vec {L}}} einer Punktmasse bezüglich des Koordinatenursprungs gilt:

L→=mr→×v→=mr→×(ω→×r→){displaystyle {vec {L}}=m,{vec {r}}times {vec {v}}=m,{vec {r}}times ({vec {omega }}times {vec {r}})}.

Hier sind:

• 
  m{displaystyle m}: die Masse der Punktmasse


• 
  r→{displaystyle {vec {r}}}: der Ortsvektor der Punktmasse


• 
  v→=r→˙{displaystyle {vec {v}}={dot {vec {r}}}}: die Geschwindigkeit der Punktmasse


• 
  ω→{displaystyle {vec {omega }}}: die Winkelgeschwindigkeit der Punktmasse relativ zum Koordinatenursprung

Dies lässt sich mit Hilfe der BAC-CAB-Formel, dem Einheitstensor 1{displaystyle mathbf {1} } und dem Operator ⊗{displaystyle otimes } für das dyadische Produkt umformen zu:

L→=m[(r→⋅r→)1−r→⊗r→]⋅ω→{displaystyle {vec {L}}=m,[({vec {r}}cdot {vec {r}}),mathbf {1} -{vec {r}}otimes {vec {r}}]cdot {vec {omega }}}

Mit der Definition des Trägheitstensors Θ{displaystyle mathbf {Theta } }:

Θ:=m[(r→⋅r→)1−r→⊗r→]{displaystyle mathbf {Theta } :=m,[({vec {r}}cdot {vec {r}}),mathbf {1} -{vec {r}}otimes {vec {r}}]}

ergibt sich der oben genannte Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit L→=Θ⋅ω→{displaystyle textstyle {vec {L}}=mathbf {Theta } cdot {vec {omega }}}.

Berechnung |

Die Matrixdarstellung des Trägheitstensors Θ{displaystyle mathbf {Theta } } bezüglich der Orthonormalbasis mit den Einheitsvektoren e^1,2,3{displaystyle {hat {e}}_{1,2,3}} erhält man aus der Bilinearform Θij=e^i⋅Θ⋅e^j{displaystyle Theta _{ij}={hat {e}}_{i}cdot mathbf {Theta } cdot {hat {e}}_{j}}, wobei die Indizes i,j{displaystyle i,j} die Koordinaten nummerieren:

Θij=e^i⋅Θ⋅e^j=e^i⋅m[(r→⋅r→)1−r→⊗r→]⋅e^j=me^i⋅[(r→⋅r→)e^j−(r→⋅e^j)r→]=m[(r→⋅r→)(e^i⋅e^j)−rj(e^i⋅r→)]=m[(r→⋅r→)δij−rirj]⇒Θ=m((r22+r32)−r1r2−r1r3−r1r2(r12+r32)−r2r3−r1r3−r2r3(r12+r22)){displaystyle {begin{aligned}Theta _{ij}=&{hat {e}}_{i}cdot mathbf {Theta } cdot {hat {e}}_{j}\=&{hat {e}}_{i}cdot m,[({vec {r}}cdot {vec {r}}),mathbf {1} -{vec {r}}otimes {vec {r}}]cdot {hat {e}}_{j}\=&m,{hat {e}}_{i}cdot [({vec {r}}cdot {vec {r}}){hat {e}}_{j}-({vec {r}}cdot {hat {e}}_{j}){vec {r}}]\=&m,[({vec {r}}cdot {vec {r}})({hat {e}}_{i}cdot {hat {e}}_{j})-r_{j}({hat {e}}_{i}cdot {vec {r}})]\=&m,[({vec {r}}cdot {vec {r}})delta _{ij}-r_{i},r_{j}]\Rightarrow Theta =&m,{begin{pmatrix}(r_{2}^{2}+r_{3}^{2})&-r_{1}r_{2}&-r_{1}r_{3}\-r_{1}r_{2}&(r_{1}^{2}+r_{3}^{2})&-r_{2}r_{3}\-r_{1}r_{3}&-r_{2}r_{3}&(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})end{pmatrix}}\end{aligned}}}

Hier sind zusätzlich:

• 
  r→=(r1,r2,r3){displaystyle {vec {r}}=(r_{1},,r_{2},,r_{3})} die Koordinaten des Ortsvektors
  


• 
  δij={1füri=j0sonst.{displaystyle delta _{ij}={begin{cases}1&{text{für}};i=j\0&{text{sonst.}}end{cases}}} das Kronecker-Delta
  

Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Tensor, denn es gilt stets Θij=Θji{displaystyle Theta _{ij}=Theta _{ji}}.

Struktur des Trägheitstensors |

Die Elemente des Trägheitstensors in einer Koordinatendarstellung haben unmittelbare physikalische Bedeutung:

Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Achse |

Die drei Elemente der Hauptdiagonale sind die Trägheitsmomente des Körpers bei Rotation um die jeweilige Achse des Koordinatensystems.
Das Trägheitsmoment Θee{displaystyle Theta _{ee}} um eine Achse in Richtung eines beliebigen Einheitsvektors e^{displaystyle {hat {e}}} ergibt sich durch

Θee=e^⋅Θ⋅e^{displaystyle Theta _{ee}={hat {e}}cdot mathbf {Theta } cdot {hat {e}}}.

Das sieht man einfach an der obigen Matrixdarstellung, wenn man den gewählten Einheitsvektor e^{displaystyle {hat {e}}} durch zwei weitere Einheitsvektoren zu einer Orthogonalbasis erweitert. Denn die Diagonalelemente sind die Trägheitsmomente um die Richtungen der Basisvektoren.

Deviationsmomente |

Die Nichtdiagonalelemente heißen Deviationsmomente. Sie geben (nach Multiplikation mit ω2{displaystyle omega ^{2}}) die Drehmomente an, die von den Lagern ausgeübt werden müssen, damit die Drehachse ihre Richtung beibehält.

Hauptträgheitsachsen und Hauptträgheitsmomente |

Im Allgemeinen gilt L→=Θ⋅ω→{displaystyle {vec {L}}=mathbf {Theta } cdot {vec {omega }}}. Aus der positiven Definitheit des Tensors Θ{displaystyle mathbf {Theta } } folgt, dass es in drei Raumdimensionen auch drei positive Eigenwerte Θk{displaystyle Theta _{k}} und zugehörige Eigenvektoren ω→k{displaystyle {vec {omega }}_{k}} gibt, für die gilt L→=Θkω→k{displaystyle {vec {L}}=Theta _{k}{vec {omega }}_{k}}.

Die Eigenvektoren des Trägheitstensors heißen Hauptträgheitsachsen und seine Eigenwerte sind die Hauptträgheitsmomente.

Mit den Hauptträgheitsmomenten und ihren Hauptträgheitsachsen bekommt der Trägheitstensor eine besonders einfache Diagonalgestalt:

Θ=(Θ1Θ2Θ3){displaystyle mathbf {Theta } ={begin{pmatrix}Theta _{1}&&\&Theta _{2}&\&&Theta _{3}end{pmatrix}}}

Symmetriebetrachtungen |

Jede Symmetrieachse ist eine Hauptträgheitsachse. Es gilt:

• Bei geraden prismatischen Körpern mit Grundfläche in Form eines Kreises oder eines regelmäßigen Vielecks sind zwei der drei Hauptträgheitsmomente untereinander gleich. Deren Hauptträgheitsachsen sind parallel zur Grundfläche, die dritte Hauptträgheitsachse ist senkrecht dazu.


• Bei flächensymmetrischen Körpern liegt eine Hauptträgheitsachse senkrecht zur Symmetrieebene, die beiden anderen in der Symmetrieebene.


• Besitzt der Körper zwei zueinander senkrechte Symmetrieebenen, dann sind ihre Normalen und ihre Schnittgerade Hauptträgheitsachsen.


• Bei einem Tetraeder, einem Würfel, bei den übrigen drei regulären Körpern und bei der Kugel ist jede Raumrichtung Hauptträgheitsachse.


• Sind Θ1{displaystyle Theta _{1}}, Θ2{displaystyle Theta _{2}} und Θ3{displaystyle Theta _{3}} paarweise voneinander verschieden, so liegt keine Rotationssymmetrie bezüglich einer Achse durch den Bezugspunkt vor, z. B. weil der Bezugspunkt nicht im Massenmittelpunkt liegt oder der Körper bezüglich keiner Achse rotationssymmetrisch ist.

Drehimpuls und Rotationsenergie im körperfesten Hauptachsensystem |

Im Koordinatensystem, dessen drei Basisvektoren e^k{displaystyle {hat {e}}_{k}} durch die Hauptträgheitsachsen definiert sind, wird die Winkelgeschwindigkeit so ausgedrückt:

ω→=ω1e^1+ω2e^2+ω3e^3{displaystyle {vec {omega }}=omega _{1}{hat {e}}_{1}+omega _{2}{hat {e}}_{2}+omega _{3}{hat {e}}_{3}}

Dann gilt für den Drehimpuls

L→=Θ⋅ω→=Θ1ω1e^1+Θ2ω2e^2+Θ3ω3e^3{displaystyle {vec {L}}=mathbf {Theta } cdot {vec {omega }}=Theta _{1}omega _{1}{hat {e}}_{1}+Theta _{2}omega _{2}{hat {e}}_{2}+Theta _{3}omega _{3}{hat {e}}_{3}}.

und für die Rotationsenergie

Erot=12ω→⋅Θ⋅ω→=12(Θ1ω12+Θ2ω22+Θ3ω32){displaystyle E_{text{rot}}={frac {1}{2}}{vec {omega }}cdot mathbf {Theta } cdot {vec {omega }}={frac {1}{2}}(Theta _{1}omega _{1}^{2}+Theta _{2}omega _{2}^{2}+Theta _{3}omega _{3}^{2})}.

Trägheitsellipsoid |

Definiert man die Länge des Ortsvektors r→{displaystyle {vec {r}}} in jeder Richtung durch die Gleichung

1=r→⋅Θ⋅r→{displaystyle 1={vec {r}}cdot mathbf {Theta } cdot {vec {r}}},

dann liegen die Endpunkte dieser Vektoren auf einer geschlossenen Fläche in Form eines Ellipsoids (Beweis). In jeder Richtung ist der Abstand der Fläche vom Ursprung gleich dem Kehrwert der Wurzel aus dem Trägheitsmoment für die in dieser Richtung liegende Achse:

r=1Θrr{displaystyle r={frac {1}{sqrt {Theta _{rr}}}}}

Die drei Achsen des Ellipsoids sind die Hauptträgheitsachsen. Die längste hat die Richtung der Drehachse mit dem kleinstmöglichen Trägheitsmoment bei der gegebenen Anordnung der Massen, die kürzeste Halbachse die Richtung mit dem größtmöglichen Trägheitsmoment. Diese Achsen haben feste Richtungen im körpereigenen Bezugssystem, denn ihre räumliche Lage ist durch die Lage des Körpers festgelegt.

Berechnung des Trägheitstensors |

Für ein System von Massenpunkten |

Der Drehimpuls eines zusammengesetzten Systems L→{displaystyle {vec {L}}} ist die Summe der Drehimpulse der Komponenten des System L→n{displaystyle {vec {L}}_{n}}.

L→=∑nL→n=∑nΘn⋅ω→n{displaystyle {vec {L}}=sum _{n}{vec {L}}_{n}=sum _{n}mathbf {Theta } _{n}cdot {vec {omega }}_{n}}

Sind die Winkelgeschwindigkeiten der Komponenten ω→n{displaystyle {vec {omega }}_{n}} alle identisch und gleich ω→{displaystyle {vec {omega }}}, dann gilt:

L→=∑nΘn⋅ω→{displaystyle {vec {L}}=sum _{n}mathbf {Theta } _{n}cdot {vec {omega }}}

Und somit gilt für den Trägheitstensor Θ{displaystyle mathbf {Theta } } des Systems:

Θ=∑nΘn=∑nmn[(r→n⋅r→n)1−r→n⊗r→n]=∑nmn((yn2+zn2)−xnyn−xnzn−ynxn(xn2+zn2)−ynzn−znxn−znyn(xn2+yn2))=(∑mn(yn2+zn2)−∑mnxnyn−∑mnxnzn−∑mnynxn∑mn(xn2+zn2)−∑mnynzn−∑mnznxn−∑mnznyn∑mn(xn2+yn2)){displaystyle {begin{aligned}mathbf {Theta } &=sum _{n}mathbf {Theta } _{n}\&=sum _{n}m_{n},[({vec {r}}_{n}cdot {vec {r}}_{n}),mathbf {1} -{vec {r}}_{n}otimes {vec {r}}_{n}]\&=sum _{n}m_{n}{begin{pmatrix}(y_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-x_{n}y_{n}&-x_{n}z_{n}\-y_{n}x_{n}&(x_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-y_{n}z_{n}\-z_{n}x_{n}&-z_{n}y_{n}&(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})end{pmatrix}}\&={begin{pmatrix}sum m_{n}(y_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-sum m_{n},x_{n}y_{n}&-sum m_{n},x_{n}z_{n}\-sum m_{n}y_{n}x_{n}&sum m_{n}(x_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-sum m_{n},y_{n}z_{n}\-sum m_{n}z_{n}x_{n}&-sum m_{n},z_{n}y_{n}&sum m_{n},(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})end{pmatrix}}end{aligned}}}

Hier sind weiterhin:

• 
  m1…N{displaystyle m_{1ldots N}} die Massen der Massepunkte, aus denen das System zusammengesetzt ist,


• 
  r→1…N=(x1…N,y1…N,z1…N){displaystyle {vec {r}}_{1ldots N}=(x_{1ldots N},,y_{1ldots N},,z_{1ldots N})} die Koordinaten ihrer Ortsvektoren
  

Bei kontinuierlicher Masseverteilung |

An die Stelle der Summen tritt beim Übergang zu einer kontinuierlichen Massenverteilung der Massendichte ρ(r→){displaystyle rho ({vec {r}})} ein Integral:

Θ=∫Vρ(r→)[(r→⋅r→)1−r→⊗r→]dV{displaystyle Theta =int _{V}rho ({vec {r}}),[({vec {r}}cdot {vec {r}})mathbf {1} ,-,{vec {r}}otimes {vec {r}}]mathrm {d} V}

mit den einzelnen Trägheitsmomenten

Θij=∫Vρ(r→)[(r→⋅r→)δij−rirj]dV{displaystyle Theta _{ij}=int _{V}rho ({vec {r}}),[({vec {r}}cdot {vec {r}})delta _{ij},-,r_{i}r_{j}]mathrm {d} V}

Beispiel: Trägheitstensor eines homogenen Würfels |

Im Massenmittelpunkt eines Würfels mit Kantenlänge d=2a{displaystyle d=2a} wird ein kartesisches Koordinatensystem so gelegt, dass die Koordinatenachsen parallel zu den Würfelkanten sind. Wegen der Homogenität ist die Dichte konstant und kann vor das Integral gezogen werden:

Θij=Θβα=ϱ∫V(r2δij−rirj)dV{displaystyle Theta _{ij}=Theta _{beta alpha }=varrho ,int _{V}(r^{2}delta _{ij}-r_{i}r_{j})mathrm {d} V}

Nun lassen sich die sechs unabhängigen Tensorkomponenten bestimmen: Das sind drei Massenträgheitsmomente und drei Deviationsmomente, da der Tensor wegen Θij=Θji{displaystyle Theta _{ij}=Theta _{ji}} symmetrisch ist. Beim Würfel mit Kantenlänge 2a{displaystyle 2a} wird zur Berechnung des Trägheitstensors bezüglich des Ursprungs in allen drei Raumrichtungen von −a{displaystyle -a} bis +a{displaystyle +a} integriert. Für den Würfel ergibt sich:

Θxx=ϱ∫V(y2+z2)dV=ϱ163a5Θyy=ϱ∫V(x2+z2)dV=ϱ163a5Θzz=ϱ∫V(y2+x2)dV=ϱ163a5Θxy=Θyx=−ϱ∫VyxdV=0Θyz=Θzy=−ϱ∫VzydV=0Θzx=Θxz=−ϱ∫VxzdV=0{displaystyle {begin{aligned}Theta _{xx}=&varrho int _{V}(y^{2}+z^{2})mathrm {d} V=varrho {frac {16}{3}}a^{5}\Theta _{yy}=&varrho int _{V}(x^{2}+z^{2})mathrm {d} V=varrho {frac {16}{3}}a^{5}\Theta _{zz}=&varrho int _{V}(y^{2}+x^{2})mathrm {d} V=varrho {frac {16}{3}}a^{5}\Theta _{xy}=&Theta _{yx}=-varrho int _{V}yxmathrm {d} V=0\Theta _{yz}=&Theta _{zy}=-varrho int _{V}zymathrm {d} V=0\Theta _{zx}=&Theta _{xz}=-varrho int _{V}xzmathrm {d} V=0end{aligned}}}

Dabei wurde

∫−aadx=[x]−aa=2a∫−aaxdx=[x22]−aa=0∫Vx2dV=∫x=−ax=a∫y=−ay=a∫z=−az=ax2dzdydx=∫x=−ax=ax2dx∫y=−ay=ady∫z=−az=adz=[x33]−aa(2a)2=83a5{displaystyle {begin{aligned}int _{-a}^{a}mathrm {d} x=&left[xright]_{-a}^{a}=2a\int _{-a}^{a}xmathrm {d} x=&left[{frac {x^{2}}{2}}right]_{-a}^{a}=0\int _{V}x^{2}mathrm {d} V=&int _{x=-a}^{x=a}int _{y=-a}^{y=a}int _{z=-a}^{z=a}x^{2},mathrm {d} zmathrm {d} ymathrm {d} x=int _{x=-a}^{x=a}x^{2},mathrm {d} xint _{y=-a}^{y=a}mathrm {d} yint _{z=-a}^{z=a}mathrm {d} z=left[{frac {x^{3}}{3}}right]_{-a}^{a}(2a)^{2}={frac {8}{3}}a^{5}end{aligned}}}

benutzt, Analoges gilt in y{displaystyle y}- und z{displaystyle z}-Richtung. Mit diesen Ergebnissen, der Kantenlänge d=2a{displaystyle d=2a} und der Masse m=ϱd3{displaystyle m=varrho d^{3}} des Würfels bekommt der Tensor die Form

Θ=ϱ163a5(100010001)=ϱ6d51=m6d21{displaystyle mathbf {Theta } =varrho {frac {16}{3}}a^{5}{begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}}={frac {varrho }{6}}d^{5}mathbf {1} ={frac {m}{6}}d^{2}mathbf {1} }.

Siehe auch |

• Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)


• Flächenträgheitsmoment


• Formelsammlung Tensoralgebra

Literatur |

• 
  Herbert Goldstein: Klassische Mechanik. 6. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1981, ISBN 3-400-00134-1. 
  


• R. Gammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. 2. überarb. Aufl. Band 2. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, DNB 451641280.