Vrftsjtryk

Mecânica do contínuo
Leis Conservação da massa Conservação do momento Conservação da energia Desigualdade da entropia
Mecânica dos sólidos Sólidos Tensão Deformação Compatibilidade Deformação finita Deformação infinitesimal Elasticidade linear Plasticidade Flexão Lei de Hooke Teoria de falha dos materiais Mecânica da fratura Mecânica do contato Sem fricção Friccional
Mecânica dos fluidos Fluidos Estática dos fluidos Dinâmica dos fluidos Empuxo Equações de Navier-Stokes Pressão Princípio de Bernoulli Princípio de Arquimedes Princípio de Pascal Turbulência Líquidos Tensão superficial Capilaridade Gases Atmosfera Lei de Boyle-Mariotte Lei de Charles Lei de Gay-Lussac Lei combinada dos gases Plasma
Reologia Viscosidade Newtoniano Não newtoniano Viscoelasticidade Fluidos inteligentes Magnetoreológico Eletroreológico Ferrofluidos Reometria Reômetro
Cientistas Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Navier Newton Pascal Poiseuille Stokes
v d e

As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão num escoamento. Foram denominadas assim após Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e gases. Estas equações estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o produto (resultado) das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção) atuando no fluido. Esta força viscosa se origina na interação molecular.

Estas são um dos mais úteis conjuntos de equações, pois descrevem a física de um grande número de fenômenos de interesse econômico e acadêmico, inclusive em diversos ramos da engenharia. São usadas para modelar o clima, correntes oceânicas, fluxos da água em oceanos, estuários, lagos e rios, movimentos das estrelas dentro e fora da galáxia, fluxo ao redor de aerofólios (asas) de automóveis e de aviões, propagação de fumaça em incêndios e em chaminés industriais (dispersão).

Também são usadas diretamente nos projetos de aeronaves e carros, nos estudos do fluxo sanguíneo (hemodinâmica), no projeto de usinas hidrelétricas, nos projetos de hidráulica marítima, na análise dos efeitos da poluição hídrica em rios, mares, lagos, oceanos e da dispersão da poluição atmosférica, etc. O modelo matemático muitas vezes deve ser complementado por um modelo físico num laboratório de hidráulica ou num túnel de vento, tendo em vista as suas limitações práticas para representar escoamentos tridimensionais.

As equações de Navier-Stokes, juntamente com as equações de Maxwell, podem ser úteis para a modelagem e para estudos na magnetohidrodinâmica.

Estas são equações diferenciais que descrevem o movimento do fluido, e que diferentemente das equações algébricas, não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis de interesse (por exemplo. velocidade e pressão). Em vez disto, elas estabelecem relações entre as taxas de variação ou fluxos destas quantidades. Em termos matemáticos, estas razões correspondem a suas derivadas. As equações de Navier-Stokes para o caso mais simples de um fluido ideal com viscosidade zero, estabelecem que a aceleração (a razão de variação da velocidade) é proporcional a derivada da pressão interna.

Isto significa que as soluções das equações de Navier-Stokes para um dado problema físico devem ser obtidas com a ajuda do cálculo. Em termos práticos, somente os casos mais simples podem ser resolvidos desta forma e suas soluções exatas são conhecidas. Estes casos freqüentemente envolvem fluxo não-turbulento em estado estacionário (o fluxo não varia como o tempo) no qual a viscosidade do fluido é grande ou sua velocidade pequena (número de Reynolds pequenos).

Para situações mais complexas, tais como um sistema de clima global como o El Niño ou a sustentação em uma asa, as soluções para a equação de Navier-Stokes freqüentemente devem ser encontradas com a ajuda de computadores. Este é um campo da ciência conhecido como CFD, sigla do inglês Computational Fluid Dynamics ou Dinâmica dos Fluidos Computacional.

Embora estas equações foram escritas no século 19, ainda não foi comprovado que, a três dimensões existem sempre soluções , ou que, se elas existem, então não contêm qualquer singularidade (ou infinito ou descontinuidade).^[1] Existe um prêmio de U$ 1.000.000 que foi oferecido em maio de 2000 pelo Instituto de Matemática Clay para qualquer um que fizer progressos substanciais na direção de uma teoria matemática que possa ajudar a entender este fenômeno.^[2]

Suposições básicas |

Antes de entrar nos detalhes da equação de Navier-Stokes, é necessário fazer várias suposições acerca dos fluidos. A primeira é que um fluido é um meio continuo. Isto significa que ele não contém vazios, como por exemplo, bolhas dissolvidas no gás, ou que ele não consiste de partículas como na neblina atmosférica. Outra hipótese necessária é que todas as variáveis de interesse tais como pressão, velocidade, densidade, temperatura, etc., são diferenciáveis (isto é, não tem transição de fase). O que exclui as situações como os escoamentos com superfície livre, por exemplo da água em torno de casco de um barco, ou com cavitação, como ocorre por vezes nos propulsores de embarcações.

Estas equações são obtidas a partir de princípios básicos de conservação da massa, momento, e energia. Para tornar mais fácil a aplicação destes princípios é útil considerar um volume arbitrário finito, chamado volume de controle. Este volume é representado por Ω{displaystyle Omega } e sua superfície de confinamento por ∂Ω{displaystyle partial Omega }. O volume de controle permanece fixo no espaço ou pode mover-se como o fluido, o que conduz a considerações especiais, como será mostrado a seguir. Se for conveniente, pode ser considerado que se trata de um volume elementar, suficientemente pequeno para que no seu seio as propriedades do fluido sejam relativamente homogéneas, quase como se tratasse de uma partícula homogénea.

Propriedades |

Não linearidade |

As equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais não-lineares em praticamente todas as situações reais. Em alguns casos, tais como no fluxo unidimensional e no escoamento de Stokes, estas equações podem ser simplificados em equações lineares.^[3] A não linearidade faz com que a maioria dos problemas sejam difíceis ou impossíveis de resolver e é o principal contribuinte para a turbulência que o modelo de equações.^[4]

Turbulência |

Na mecânica de fluidos, turbulência ou fluxo turbulento é um regime de fluido caótico, caracterizado por alterações de propriedades de natureza estocástica.^[5]

O regime turbulento pode ocorrer em variadas situações de fluxo, tanto com superfície livre como em escoamento confinado, sendo habitual em situações de caudal elevado. O parâmetro mais utilizado para a verificação da existência deste regime é o número de Reynolds, sendo que caso o valor deste seja superior a 2500, o regime é considerado turbulento.^[6][7]

A derivada material |

As mudanças nas propriedades de um fluido em movimento podem ser medidas de duas formas diferentes. Isso será ilustrado através da medição da velocidade do vento na atmosfera: uma forma de medir estas mudanças é com a ajuda de um anemômetro em uma estação climática, outra forma seria pela liberação de um balão atmosférico, que esteja a flutuar em equilíbrio perfeito no ar, praticamente sem massa nem inércia, só se deslocando se o fluido o arrastar. Claro que o primeiro caso é mais indicado para medição da velocidade de todas as partículas que passam através de um ponto fixo no espaço. Contudo, no segundo caso o instrumento mede mudanças na velocidade à medida que o balão se move com o fluido. Também mede mudanças na densidade, na temperatura, na pressão, etc. No estudo da variação das propriedades dos fluidos interessa relacionar as variações ao longo do tempo num ponto fixo, com as variações ao longo de um trajeto num instante fixo, como que conjugando o anemômetro e o balão. A derivada de um campo com respeito a uma posição fixa no espaço é conhecida como derivada espacial ou de Euler. A derivação acompanhando o movimento de uma partícula é chamada de derivada substantiva ou Lagrangiana.

A derivada material, englobando os termos de Euler e de Lagrange, é definida pelo operador:

DDt(⋅)≡∂(⋅)∂t+(v⋅∇)(⋅){displaystyle {frac {D}{Dt}}(cdot )equiv {frac {partial (cdot )}{partial t}}+(mathbf {v} cdot nabla )(cdot )}

onde v{displaystyle mathbf {v} } é a velocidade do fluido. O primeiro termo do lado direito da equação é a derivada tradicional de Euler, isto é, a derivada em ordem ao tempo num ponto fixo do espaço. O segundo termo representa as mudanças devidas ao movimento do fluido.

Leis de Conservação |

As equações de Navier-Stokes são derivadas dos princípios da conservação da:

• Massa


• Energia


• Momento linear


• Momento angular

Adicionalmente, é necessário assumir uma relação constitutiva ou equação de estado para o fluido.

Na sua forma mais geral, uma lei de conservação estabelece que a razão de mudança de uma propriedade continua L{displaystyle L} definida em todo volume de controle deve ser igual aquilo que é perdido através das fronteiras do volume, carregado para fora pelo movimento do fluido, mais o que é criado/consumido pelas fontes e sorvedouros dentro do volume de controle. Isto é expresso na seguinte equação integral:

ddt∫ΩLdΩ=−∫∂ΩLv⋅nd∂Ω+∫ΩQdΩ{displaystyle {frac {d}{dt}}int _{Omega }L;dOmega =-int _{partial Omega }Lmathbf {vcdot n} dpartial Omega +int _{Omega }QdOmega }

Onde v é a velocidade do fluido e Q representa as fontes e sorvedouros de L no fluido.

Se o volume de controle é fixado no espaço então a equação integral pode ser expressa assim:

ddt∫ΩLdΩ=−∫Ω∇⋅(Lv)dΩ+∫ΩQdΩ{displaystyle {frac {d}{dt}}int _{Omega }LdOmega =-int _{Omega }nabla cdot (Lmathbf {v} )dOmega +int _{Omega }QdOmega }

Note que o teorema da divergência de Gauss foi usado na dedução desta última equação, de forma a expressar o primeiro termo do lado direito no interior do volume de controle.
Portanto:

ddt∫ΩLdΩ=−∫Ω(∇⋅(Lv)−Q)dΩ{displaystyle {frac {d}{dt}}int _{Omega }LdOmega =-int _{Omega }(nabla cdot (Lmathbf {v} )-Q)dOmega }

A expressão acima é válida para Ω{displaystyle Omega }, que é um volume de controle que permanece fixo no espaço. Devido a Ω{displaystyle Omega } não variar no tempo, é possível trocar os operadores "ddt{displaystyle {frac {d}{dt}}}" e "∫ΩdΩ{displaystyle int _{Omega }^{}dOmega }". E como esta expressão é valida para todos os domínios podemos, além disso, remover a integral.

Com a introdução da derivada material obtemos, quando Q=0{displaystyle Q=0} (nenhuma fonte ou sorvedouro):

∂∂tL+∇⋅(Lv)=DDtL+L(∇⋅v)=0{displaystyle {frac {partial }{partial t}}L+nabla cdot left(Lmathbf {v} right)={frac {D}{Dt}}L+Lleft(nabla cdot mathbf {v} right)=0}

Equação da continuidade |

A conservação da massa é descrita assim:

∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}}+nabla cdot left(rho mathbf {v} right)=0}

=∂ρ∂t+ρ∇⋅v+v⋅∇ρ{displaystyle ={frac {partial rho }{partial t}}+rho nabla cdot mathbf {v} +mathbf {v} cdot nabla rho }

=DρDt+ρ∇⋅v=0{displaystyle ={frac {Drho }{Dt}}+rho nabla cdot mathbf {v} =0}

onde ρ{displaystyle rho } é a densidade de massa (massa por unidade de volume), e v é a velocidade do fluido.

No caso de um fluido incompressível, ρ{displaystyle rho } não é uma função do tempo ou espaço e a equação se reduz a:

∇⋅v=0{displaystyle nabla cdot mathbf {v} =0}:

Conservação de momentum (quantidade de movimento) |

∂∂t(ρvi)+∇⋅(ρviv)=ρfi.{displaystyle {frac {partial }{partial t}}left(rho v_{i}right)+nabla cdot (rho v_{i}mathbf {v} )=rho f_{i}.}

ρfi{displaystyle rho f_{i}} é a i-ésima componente da força atuando no fluido (sempre força por unidade de volume. As forças comumente encontradas incluem a gravidade e gradientes de pressão.
Isto também pode ser expresso como:

∂∂t(ρv)+∇⋅(ρv⊗v)=ρf{displaystyle {frac {partial }{partial t}}left(rho mathbf {v} right)+nabla cdot (rho mathbf {v} otimes mathbf {v} )=rho mathbf {f} }

Note que v⊗v{displaystyle mathbf {v} otimes mathbf {v} } é um tensor, o ⊗{displaystyle otimes } representa o produto tensorial.

Nós podemos simplificar isto ainda mais, usando a equação de continuidade, obtendo:

ρDviDt=ρfi{displaystyle rho {frac {Dv_{i}}{Dt}}=rho f_{i}}

a qual é frequentemente escrita como:

ρDvDt=ρf{displaystyle rho {frac {Dmathbf {v} }{Dt}}=rho mathbf {f} }

Na qual reconhecemos o usual F=ma.

A equação |

Forma Geral |

A forma das equações |

A forma geral das equações de Navier-Stokes para a conservação do momento é:

ρDvDt=∇⋅P+ρf{displaystyle rho {frac {Dmathbf {v} }{Dt}}=nabla cdot mathbb {P} +rho mathbf {f} }

Onde:
P=(p000p000p)+(σxxτxyτxzτyxσyyτyzτzxτzyσzz){displaystyle mathbb {P} ={begin{pmatrix}p&0&0\0&p&0\0&0&pend{pmatrix}}+{begin{pmatrix}sigma _{xx}&tau _{xy}&tau _{xz}\tau _{yx}&sigma _{yy}&tau _{yz}\tau _{zx}&tau _{zy}&sigma _{zz}end{pmatrix}}}

onde os σ{displaystyle sigma } são a tensão normal, τ{displaystyle tau } tensão tangencial (tensão cisalhamento), e p é a pressão estática, associada como a parte isotrópica do tensor de tensões sem considerar se o fluido está ou não em equilíbrio.

Finalmente, temos:

ρDvDt=−∇p+∇⋅T+ρf{displaystyle rho {frac {Dmathbf {v} }{Dt}}=-nabla p+nabla cdot mathbb {T} +rho mathbf {f} }

onde T{displaystyle mathbb {T} } é a somatória da diagonal principal de P{displaystyle mathbb {P} }.

Esta equação está ainda incompleta. Para completá-la, deve ser feita uma hipótese na forma de P{displaystyle mathbb {P} }, que é uma necessária lei constitutiva para o tensor de tensões como mostrado abaixo.

O fluxo é tido como sendo diferenciável e contínuo, permitindo que as leis de conservação sejam expressas como equações diferenciais parciais. No caso de fluidos incompressíveis (densidade constante), as variáveis a serem selecionadas são os componentes da pressão e velocidade. Os três componentes das equações de Navier-Stokes mais a conservação da massa (equação de continuidade) formam um sistema fechado de equações diferenciais parciais bem definidas para estas variáveis, que pode ser resolvido, em principio, para condições de contorno adequadas.

A equação pode ser convertida para equações de Wilkinson pelo uso de variáveis secundárias vorticidade e função de fluxo. A solução depende das propriedades do fluxo (tais como viscosidade, calor específico, e condutividade térmica), e das soluções de contorno do domínio de estudo.

Com hipóteses adicionais, as componentes podem ser separadas.

Formas especiais |

Estas são algumas simplificações usuais do problema para as quais algumas soluções são conhecidas.

Fluidos Newtonianos |

Nos fluidos Newtonianos as seguintes hipóteses são válidas:

pij=−pδij+μ(∂vi∂xj+∂vj∂xi−23δij∇⋅v){displaystyle p_{ij}=-pdelta _{ij}+mu left({frac {partial v_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial v_{j}}{partial x_{i}}}-{frac {2}{3}}delta _{ij}nabla cdot mathbf {v} right)}

onde:

μ{displaystyle mu } é a viscosidade do fluido.

δij{displaystyle delta _{ij}} é o delta Kronecker (1 for i=j; 0 for i ≠{displaystyle neq } j).

Para entender como isto foi derivado, notemos primeiro que no equilíbrio, p_ij=-pδ_ij. Para um fluido Newtoniano, a variação do tensor força covariante do valor de equilíbrio é linear no gradiente da velocidade. Ele obviamente não pode depender da própria velocidade devido a Covariância de Galileu. Em outras palavras, p_ij+pδ_ij é linear na ∂ivj{displaystyle partial _{i}v_{j}}. O fluido que são considerados aqui são invariante rotacionalmente (isto é, eles não são cristais líquidos.

Fluidos Bingham |

Nos fluidos de fluidos Bingham, tem-se algo ligeiramente diferente:

τij=τ0+μ∂vi∂xj,∂vi∂xj>0{displaystyle tau _{ij}=tau _{0}+mu {frac {partial v_{i}}{partial x_{j}}},;{frac {partial v_{i}}{partial x_{j}}}>0}

Estes são fluidos capazes de suportar alguma tensão de cisalhamento antes de iniciar o escoamento. Alguns exemplos comuns são pasta de dente e massa de modelagem.

Fluidos Incompressíveis |

A equação de Navier-Stokes são

ρDuiDt=ρfi−∂p∂xi+∂∂xj[2μ(eij−Δδij3)]{displaystyle rho {frac {Du_{i}}{Dt}}=rho f_{i}-{frac {partial p}{partial x_{i}}}+{frac {partial }{partial x_{j}}}left[2mu left(e_{ij}-{frac {Delta delta _{ij}}{3}}right)right]}

Para conservação de momento e

∇⋅v=0{displaystyle nabla cdot mathbf {v} =0}

para conservação da massa.

onde

ρ{displaystyle rho } é a densidade,

ui{displaystyle u_{i}} (i=1,2,3{displaystyle i=1,2,3}) são os tres components da velocidade,

fi{displaystyle f_{i}} forces que atuam no corpo (tais como a gravidade),

p{displaystyle p} a pressão,

μ{displaystyle mu } a viscosidade dinâmica, de um ponto do fluido;

eij=12(∂ui∂xj+∂uj∂xi){displaystyle e_{ij}={frac {1}{2}}left({frac {partial u_{i}}{partial x_{j}}}+{frac {partial u_{j}}{partial x_{i}}}right)};

Δ=eii{displaystyle Delta =e_{ii}} é a divergência,

δij{displaystyle delta _{ij}} é o delta Kronecker.

Se μ{displaystyle mu } é constante em todo o fluido, o momento da equação acima é simplificado para:

ρDuiDt=ρfi−∂p∂xi+μ(∂2ui∂xj∂xj+13∂Δ∂xi){displaystyle rho {frac {Du_{i}}{Dt}}=rho f_{i}-{frac {partial p}{partial x_{i}}}+mu left({frac {partial ^{2}u_{i}}{partial x_{j}partial x_{j}}}+{frac {1}{3}}{frac {partial Delta }{partial x_{i}}}right)}

Se agora adicionalmente ρ{displaystyle rho } é assumido constante, obtemos o sistema:

ρ(∂vx∂t+vx∂vx∂x+vy∂vx∂y+vz∂vx∂z)=μ[∂2vx∂x2+∂2vx∂y2+∂2vx∂z2]−∂p∂x+ρgx{displaystyle rho left({partial v_{x} over partial t}+v_{x}{partial v_{x} over partial x}+v_{y}{partial v_{x} over partial y}+v_{z}{partial v_{x} over partial z}right)=mu left[{partial ^{2}v_{x} over partial x^{2}}+{partial ^{2}v_{x} over partial y^{2}}+{partial ^{2}v_{x} over partial z^{2}}right]-{partial p over partial x}+rho g_{x}}

ρ(∂vy∂t+vx∂vy∂x+vy∂vy∂y+vz∂vy∂z)=μ[∂2vy∂x2+∂2vy∂y2+∂2vy∂z2]−∂p∂y+ρgy{displaystyle rho left({partial v_{y} over partial t}+v_{x}{partial v_{y} over partial x}+v_{y}{partial v_{y} over partial y}+v_{z}{partial v_{y} over partial z}right)=mu left[{partial ^{2}v_{y} over partial x^{2}}+{partial ^{2}v_{y} over partial y^{2}}+{partial ^{2}v_{y} over partial z^{2}}right]-{partial p over partial y}+rho g_{y}}

ρ(∂vz∂t+vx∂vz∂x+vy∂vz∂y+vz∂vz∂z)=μ[∂2vz∂x2+∂2vz∂y2+∂2vz∂z2]−∂p∂z+ρgz{displaystyle rho left({partial v_{z} over partial t}+v_{x}{partial v_{z} over partial x}+v_{y}{partial v_{z} over partial y}+v_{z}{partial v_{z} over partial z}right)=mu left[{partial ^{2}v_{z} over partial x^{2}}+{partial ^{2}v_{z} over partial y^{2}}+{partial ^{2}v_{z} over partial z^{2}}right]-{partial p over partial z}+rho g_{z}}

Equação de continuidade (assumindo incompressibilidade):

∂vx∂x+∂vy∂y+∂vz∂z=0{displaystyle {partial v_{x} over partial x}+{partial v_{y} over partial y}+{partial v_{z} over partial z}=0}

Note que as equações de Navier-Stokes podem somente descrever o fluxo de um fluido aproximadamente, a uma escala extremamente pequenas ou sob condições extremas, fluidos reais são constituídos de uma mistura de moléculas discretas e outros materiais, tais como partículas em suspensão e gases dissolvidos, o que ira produzir resultados diferentes dos obtidos de um fluido continuo e homogêneo modelado pela equações de Navier-Stokes. Dependendo do número de Knudsen do problema, a mecânica estatística pode ser uma abordagem mais apropriada. Contudo, as equações de Navier-Stokes são úteis para um grande número de problemas práticos, dentro de suas limitações.

Simplificações adicionais e notação Vectorial e Integral |

As equações de Navier-Stokes podem-se expressar numa forma mais simplificada tomando as diferentes propriedades como constantes ou como variáveis, e supondo escoamentos em regime estacionário, por exemplo. Além disso, resulta mais pratico o uso da notação indicial, especialmente no caso da programação em aplicações de simulação numérica.^[8]

Ver também |

• Teorema de transporte de Reynolds


• Número de Reynolds


• Número Mach


• Número de Froude


• Fluxo de multifase


• CFD


• Modelo físico


• Modelo matemático


• Hidráulica


• Aerodinâmica

Referências

• Inge L. Rhyming Dynamique des fluides, 1991 PPUR


• A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8
  

v d e Equações diferenciais
Sistema de equações diferenciais	Equações diferenciais  · Equações diferenciais ordinárias  · Equação diferencial ordinária de primeira ordem  · Equação diferencial de d'Alembert  · Equação diferencial de Bernoulli  · Equação de Clairaut  · Equação de Duffing  · Decaimento exponencial  · Equação de Euler  · Equação de Lane-Emden  · Equação de Lotka-Volterra  · Equação do pêndulo  · Equação de Riccati  · Crescimento Demográfico  · Trajetória ortogonal
Equações diferenciais parciais	Equação de Mason-Weaver  · Equação do transporte  · Equação de Laplace  · Equação de Poisson  · Equação do calor  · Equações de Navier-Stokes  · Equação da onda
Métodos analíticos	Separação de variáveis  · Método de Frobenius  · Método de d'Alembert
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