Vrftsjtryk

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Fração (AO 1945: fracção) é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números inteiros. A palavra fração vem do latim fractus e significa "partido", dividido ou "quebrado (do verbo frangere: "quebrar").

Representação gráfica de fração. Observa-se facilmente a equivalência entre 2/4 e 1/2.

Surgimento e sua Precisão |

No antigo Egito por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do Rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizavam os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no antigo Egito os símbolos se repetiam muitas vezes.^[1]

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de numeração decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.

Definições |

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como ab,{displaystyle {frac {a}{b}},} designa o inteiro dividido em b{displaystyle {b}} partes iguais ao qual usa-se o número a{displaystyle {a}} de partes.^[2] Neste caso, a{displaystyle {a}} corresponde ao numerador, enquanto b{displaystyle {b}} corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.^[2][3]

O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas.

Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso?

Cada aluno ficara com 3:4 = 34{displaystyle {tfrac {3}{4}}} (lê-se três-quartos) da folha. Ou seja, você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno.

Por exemplo, a fração 568{displaystyle {tfrac {56}{8}}} (lê-se cinquenta e seis-oitavos) designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais, cujo conjunto é representado por Q.{displaystyle mathbb {Q} .} Assim, o conjunto dos números racionais podem ser escritos na forma ab,{displaystyle {tfrac {a}{b}},} sendo a,b∈Z{displaystyle a,bin mathbb {Z} } e b≠0,{displaystyle bneq 0,} o que resulta em:
Q={ab|a∈Z;b∈Z∗}.{displaystyle mathbb {Q} =left{{begin{matrix}{frac {a}{b}}end{matrix}},|,ain mathbb {Z} ,;,bin mathbb {Z^{*}} right}.}^[4][5]

Outro modo de enxergar frações é imaginar uma linha reta entre os números 0 e 1. As frações serão pontos nessa reta. Por exemplo, a fração 12{displaystyle {tfrac {1}{2}}} é representada por um ponto exatamente na metade dessa reta.

É possível efetuar operações básicas com as frações: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Nomenclatura de frações |

A leitura de uma fração depende do seu denominador, podendo ser dividida em dois grupos.

O primeiro grupo compreende os denominadores iguais a 2{displaystyle 2}, 3{displaystyle 3}, 4{displaystyle 4}, 5{displaystyle 5}, 6{displaystyle 6}, 7{displaystyle 7}, 8{displaystyle 8}, 9{displaystyle 9}, 10{displaystyle 10}, 100{displaystyle 100} e 1000{displaystyle 1000}.

∗{displaystyle *} Lê-se primeiro o numerador seguido de seu denominador.

32⇒{displaystyle {frac {3}{2}}Rightarrow } Três meios; 26⇒{displaystyle qquad qquad qquad {frac {2}{6}}Rightarrow } Dois Sextos; 110⇒{displaystyle qquad qquad qquad {frac {1}{10}}Rightarrow } Um décimo;

13⇒{displaystyle {frac {1}{3}}Rightarrow } Um terço;47⇒{displaystyle qquad qquad qquad quad {frac {4}{7}}Rightarrow } Quatro sétimos; 8100⇒{displaystyle qquad qquad {frac {8}{100}}Rightarrow } Oito centésimos;

54⇒{displaystyle {frac {5}{4}}Rightarrow } Cinco quartos; 68⇒{displaystyle qquad qquad quad {frac {6}{8}}Rightarrow } Seis oitavos;21000⇒{displaystyle qquad qquad qquad {frac {2}{1000}}Rightarrow } Dois milésimos

75⇒{displaystyle {frac {7}{5}}Rightarrow }Sete Quintos;39⇒{displaystyle qquad qquad qquad {frac {3}{9}}Rightarrow } Três nonos;

O segundo grupo compreende os denominadores que não pertencem ao primeiro, e acrescentamos a palavra AVOS

715⇒{displaystyle {frac {7}{15}}Rightarrow } Sete quinze avos;

1357⇒{displaystyle {frac {13}{57}}Rightarrow } Treze cinquenta e sete avos;

45182⇒{displaystyle {frac {45}{182}}Rightarrow } Quarenta e cinco cento e oitenta e dois avos;

721⇒{displaystyle {frac {7}{21}}Rightarrow } Sete vinte e um avos.

Observação: Para frações que tem como denominador o número um, lê-se apenas o numerador, pois essas frações são números inteiros.

Tipos de Frações^[6] |

Frações Equivalentes |

^[7]Duas ou mais frações que representam a mesma porção da unidade. É obtida quando multiplicamos ou dividimos o numerador e denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero.

Exemplo: 13⋅22=26{displaystyle {frac {1}{3}}cdot {frac {2}{2}}={frac {2}{6}}} e 13⋅33=39{displaystyle {frac {1}{3}}cdot {frac {3}{3}}={frac {3}{9}}}

A partir da definição temos que 13{displaystyle {tfrac {1}{3}}}, 26{displaystyle {tfrac {2}{6}}} e 39{displaystyle {tfrac {3}{9}}} são Equivalentes.

Podemos verificar se duas frações são equivalentes multiplicando os números de forma cruzada.

Exemplo: 39=618⟹3⋅18=9⋅6⟹54=54{displaystyle {frac {3}{9}}={frac {6}{18}}Longrightarrow 3cdot 18=9cdot 6Longrightarrow 54=54}

O conjunto de frações equivalentes a uma certa fração chama-se Classe de Equivalência.

Frações Irredutíveis e Simplificação de Frações |

Para simplificar uma fração, devemos dividir sucessivamente o numerador e o denominador por um divisor comum, até obtermos a fração com os menores termos possíveis. Outra forma de simplificação é pelo MDC(Máximo Divisor Comum), onde efetuamos uma única divisão.

A fração, cujo numerador e denominador são primos entre si, é denominada Fração Irredutível ou Forma simplificada, pois não é permitido que haja simplificação.

Exemplo:

Simplificando sucessivamente ⟹{displaystyle Longrightarrow } 1854÷22=927÷33=39÷33=13{displaystyle {frac {18}{54}}div {frac {2}{2}}={frac {9}{27}}div {frac {3}{3}}={frac {3}{9}}div {frac {3}{3}}={frac {1}{3}}} ou pelo MDC ⟹{displaystyle Longrightarrow } 1854÷1818=13{displaystyle {frac {18}{54}}div {frac {18}{18}}={frac {1}{3}}}

Observe que 13{displaystyle {frac {1}{3}}} é Fração Irredutível de 1854{displaystyle {frac {18}{54}}}.

Frações Próprias |

É a fração, onde o numerador é menor que o denominador e que representa parte do inteiro, isto é, representa um valor maior que zero e menor que um.

Exemplos: 12{displaystyle {frac {1}{2}}}, 14{displaystyle {frac {1}{4}}}, 23⋯{displaystyle {frac {2}{3}}cdots }

Frações Impróprias |

A fração que não é própria é denominada imprópria,o seu numerador é maior ou igual ao denominador.^[2] e representam valores maiores que 1 ou o zero ou o inteiro.

Exemplos: 73{displaystyle {frac {7}{3}}}, 22{displaystyle {frac {2}{2}}}, 52⋯{displaystyle {frac {5}{2}}cdots }

Frações Aparentes |

É a fração onde o numerador é múltiplo do denominador, elas representam um número inteiro, mas em forma de fração. Frações aparentes são particularidades das frações impróprias.

Exemplos: 255{displaystyle {frac {25}{5}}}, 183{displaystyle {frac {18}{3}}}, 147⋯{displaystyle {frac {14}{7}}cdots }

Frações Mistas |

É a fração constituída por uma parte inteira e uma fracionária.^[6]  Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto.

Exemplos: 423{displaystyle 4{frac {2}{3}}} que é equivalente a fração imprópria 143{displaystyle {frac {14}{3}}}

328{displaystyle qquad qquad 3{frac {2}{8}}} que é equivalente a fração imprópria 268{displaystyle {frac {26}{8}}}.

Conversão de Frações Mistas e Impróprias^[8] |

Para escrever uma fração de forma Imprópria em uma fração de forma Mista, inicialmente devemos dividir o numerador pelo seu denominador. Tomamos como exemplo a fração 94{displaystyle {frac {9}{4}}}:

Com isso o quociente da divisão é a parte inteira da fração mista, o resto será seu numerador e o divisor será seu denominador.

Então temos:

214{displaystyle 2{frac {1}{4}}} equivale a fração imprópria 94{displaystyle {frac {9}{4}}}.

Outro de modo:

94=44+44⏟2+14⏟14⇒214{displaystyle {frac {9}{4}}=underbrace {{frac {4}{4}}+{frac {4}{4}}} _{2}+underbrace {frac {1}{4}} _{frac {1}{4}}Rightarrow 2{frac {1}{4}}}

Para transformar uma fração mista em uma fração imprópria, devemos fazer a soma da parte inteira com a parte fracionária da fração mista.

214=2+14=84+14=8+14=94{displaystyle 2{frac {1}{4}}=2+{frac {1}{4}}={frac {8}{4}}+{frac {1}{4}}={frac {8+1}{4}}={frac {9}{4}}}.

Frações Compostas |

São frações onde o numerador, o denominador ou ambos possuem frações, também são conhecidas por Frações Complexas.

Exemplo: 2759{displaystyle {{frac {2}{7}} over {frac {5}{9}}}}, 1711+314611⋅13{displaystyle {{frac {17}{11}}+{frac {3}{14}} over {frac {6}{11}}cdot {frac {1}{3}}}}, 235{displaystyle {{frac {2}{3}} over 5}}, 11716+12⋯{displaystyle {11 over {frac {7}{16}}+{frac {1}{2}}}cdots }

Frações Unitárias |

É a fração onde o numerador é igual a 1{displaystyle 1} e o denominador é um inteiro positivo. Exemplo:15{displaystyle {frac {1}{5}}}

A soma das frações unitárias, distintas entre si é chamada de Fração Egípcia, pois para os egípcios era mais prático e fácil de comparar as quantidades dessa forma. Exemplo: 13+115=25{displaystyle {frac {1}{3}}+{frac {1}{15}}={frac {2}{5}}}.

Para explicar os métodos egípcios nas decomposições de uma fração em uma soma de frações unitárias, usaremos duas afirmações:

i){displaystyle i)} Toda fração da forma 1n{displaystyle {frac {1}{n}}} pode ser decomposta como:

1n+k+{displaystyle {frac {1}{n+k}}+}1n(n+k)k{displaystyle {frac {1}{frac {n(n+k)}{k}}}} com k{displaystyle k} , n{displaystyle n} ∈N∗{displaystyle in mathbb {N} ^{*}} e k{displaystyle k} variando de 1{displaystyle 1} a n{displaystyle n}.

1n+k+1n(n+k)⋅k1=1n+k+kn(n+k)=nn(n+k)+kn(n+k)=n+kn(n+k)=1n{displaystyle {frac {1}{n+k}}+{frac {1}{n(n+k)}}cdot {frac {k}{1}}={frac {1}{n+k}}+{frac {k}{n(n+k)}}={frac {n}{n(n+k)}}+{frac {k}{n(n+k)}}={frac {n+k}{n(n+k)}}={frac {1}{n}}}

ii){displaystyle ii)} Dada a fração zw{displaystyle {frac {z}{w}}} , podemos transformar o denominador w{displaystyle w} em um produto de p{displaystyle p} por q{displaystyle q}.

zp⋅q=1p⋅r+1q⋅r{displaystyle {frac {z}{pcdot q}}={frac {1}{pcdot r}}+{frac {1}{qcdot r}}}, onde r=p+qz{displaystyle r={frac {p+q}{z}}} com p{displaystyle p}, q{displaystyle q}, r{displaystyle r} e z∈R{displaystyle zin mathbb {R} }

zp⋅q={displaystyle {frac {z}{pcdot q}}=}1p⋅(p+q)z+1q⋅(p+q)z{displaystyle {frac {1}{frac {pcdot (p+q)}{z}}}+{frac {1}{frac {qcdot (p+q)}{z}}}}

zp⋅q=11⋅zp⋅(p+q)+11⋅zq⋅(p+q){displaystyle {frac {z}{pcdot q}}={frac {1}{1}}cdot {frac {z}{pcdot (p+q)}}+{frac {1}{1}}cdot {frac {z}{qcdot (p+q)}}}

zp⋅q=zp⋅(p+q)+zq⋅(p+q){displaystyle {frac {z}{pcdot q}}={frac {z}{pcdot (p+q)}}+{frac {z}{qcdot (p+q)}}}

zp⋅q=z⋅q+z⋅pp⋅q⋅(p+q){displaystyle {frac {z}{pcdot q}}={frac {zcdot q+zcdot p}{pcdot qcdot (p+q)}}}

zp⋅q=z⋅(p+q)p⋅q⋅(p+q){displaystyle {frac {z}{pcdot q}}={frac {zcdot (p+q)}{pcdot qcdot (p+q)}}}

zp⋅q=zp⋅q{displaystyle {frac {z}{pcdot q}}={frac {z}{pcdot q}}}

Fração Contínua |

Também conhecida como Fração Continuada, é uma forma de representar números reais. A fração contínua de um número racional pode ser representada por uma sequência finita de inteiros, já a de um número irracional é representada por uma sequência infinita de inteiros.

Para obter uma fração continua, podemos aplicar o algoritmo da divisão de Euclides sucessivamente em uma divisão de inteiros. Usando um racional irredutível, temos que: ts{displaystyle {frac {t}{s}}} tal que t=a1⋅s+r1{displaystyle t=a_{1}cdot s+r_{1}}, com 0<r1<s{displaystyle 0<r_{1}<s}

Logo, ts=a1⋅ss+r1s=a1+1sr1{displaystyle {frac {t}{s}}={frac {a_{1}cdot s}{s}}+{frac {r_{1}}{s}}=a_{1}+{frac {1}{frac {s}{r_{1}}}}} ,

Para s{displaystyle s} e r1{displaystyle r_{1}}, obtemos a2{displaystyle a_{2}} e r2{displaystyle r_{2}} tal que, s=a2⋅r1+r2{displaystyle s=a_{2}cdot r_{1}+r_{2}}, com 0<r2<r1{displaystyle 0<r_{2}<r_{1}}

Logo, ts=a1+1a2+r1r2{displaystyle {frac {t}{s}}=a_{1}+{frac {1}{a_{2}+{frac {r_{1}}{r_{2}}}}}}

E assim sucessivamente, ts=a1+1a2+1a3+1⋯an−1+1an{displaystyle {frac {t}{s}}=a_{1}+{frac {1}{a_{2}+{frac {1}{a_{3}+{frac {1}{cdots a_{n-1}+{frac {1}{a_{n}}}}}}}}}}, com n∈N∗{displaystyle nin mathbb {N^{*}} }

Como o algoritmo da divisão de Euclides é um processo finito, escrevemos essa fração contínua que representa o racional ts{displaystyle {frac {t}{s}}} dessa maneira:

ts=[a1,a2,a3,⋯,an]{displaystyle {frac {t}{s}}=[a_{1},a_{2},a_{3},cdots ,a_{n}]}.

Fração Decimal |

Toda fração cujo denominador é uma potência positiva de 10 é chamada de fração decimal. Essas frações podem ser representadas por um número decimal.

Exemplos: 210=0,2{displaystyle {frac {2}{10}}=0,2}, −11100={displaystyle {frac {-11}{100}}=} −11102=−0,11{displaystyle {frac {-11}{10^{2}}}=-0,11}, 71000={displaystyle {frac {7}{1000}}=} 7103=0,007⋯{displaystyle {frac {7}{10^{3}}}=0,007cdots }

Teorema: A parte fracionária de cada fração decimal(positiva) pode ser decomposta como uma soma de frações decimais especiais, e cada uma delas tem como numerador um dos dígitos que expressa o denominador da fração original.

5841000=510+8100+41000=0,584{displaystyle {frac {584}{1000}}={frac {5}{10}}+{frac {8}{100}}+{frac {4}{1000}}=0,584}

Podemos verificar que todo número racional determinado por uma fração decimal terá quantidade finita de dígitos na parte fracionária, ou seja tem expansão finita.

{−+anan1⋯a1a0,b1b2⋯bn}{displaystyle qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad {_{-}^{+}a_{n}a_{n1}cdots a_{1}a_{0},b_{1}b_{2}cdots b_{n}}}.

Fração Ordinária |

É toda fração da forma ab{displaystyle {frac {a}{b}}}, onde a{displaystyle a} é um inteiro qualquer e b{displaystyle b} um inteiro estritamente positivo.

Exemplo: −23{displaystyle {frac {-2}{3}}}, 14⋯{displaystyle {frac {1}{4}}cdots }

Teorema: Quando o denominador de uma fração ordinária tiver uma fatoração em primos,

contendo apenas os fatores 2{displaystyle 2} e/ou 5{displaystyle 5}, esta fração será equivalente a uma fração decimal.

Demonstração: Sendo a fração ab{displaystyle {frac {a}{b}}}, a{displaystyle quad a}, b∈Z{displaystyle bin mathbb {Z} } e b≠0{displaystyle bneq 0}.

Pela Hipótese b=2m⋅5n{displaystyle b=2^{m}cdot 5^{n}} m{displaystyle quad m}, n∈Z{displaystyle nin mathbb {Z} } m{displaystyle quad m}, n≥0{displaystyle ngeq 0}.

⇒m>n{displaystyle Rightarrow m>n}

ab=a2m⋅5n⋅5m−n5m−n=a⋅5m−n2m⋅5n+m−n=a⋅5m−n(2⋅5)m=a⋅5m−n10m{displaystyle {frac {a}{b}}={frac {a}{2^{m}cdot 5^{n}}}cdot {frac {5^{m-n}}{5^{m-n}}}={frac {acdot 5^{m-n}}{2^{m}cdot 5^{n+m-n}}}={frac {acdot 5^{m-n}}{(2cdot 5)^{m}}}={frac {acdot 5^{m-n}}{10^{m}}}}

Para m<n{displaystyle m<n} a demonstração é de forma análoga.

Proposição: Todo numero racional r{displaystyle r}, tem uma decomposição na forma r=r′+r″{displaystyle r=r'+r''}, onde:

r′≥0{displaystyle r'geq 0} e é um número inteiro (parte inteira de r{displaystyle r})

r″{displaystyle r''} é um racional, sendo 0≤r″≤1{displaystyle 0leq r''leq 1} (parte fracionária de r{displaystyle r})

Com isso temos dec(r)=dec(r′)+dec(r″){displaystyle dec(r)=dec(r')+dec(r'')}, onde dec={displaystyle dec=} decimal

⇒85=1,6=1+0,6⏟r=r′+r″{displaystyle Rightarrow {frac {8}{5}}=underbrace {1,6=1+0,6} _{r=r'+r''}}

Temos ainda:

∗{displaystyle *} A parte inteira r′{displaystyle r'} de r{displaystyle r} pode ser obtida como o quociente q{displaystyle q}, da divisão euclidiana de a{displaystyle a} por b{displaystyle b}, onde a{displaystyle a}, b>0{displaystyle b>0} e é uma representação em fração ordinária de r{displaystyle r}, ou seja r=ab{displaystyle r={frac {a}{b}}} .

Pela divisão euclidiana a=b⋅q+s{displaystyle a=bcdot q+s}, então 8=5⋅1+3{displaystyle 8=5cdot 1+3}, onde 1=q=r′{displaystyle 1=q=r'}

∗{displaystyle *} A parte fracionária r″{displaystyle r''} de r{displaystyle r} é r−q{displaystyle r-q}, ou seja

r−r′=r″⏟1,6−1=0,6{displaystyle underbrace {r-r'=r''} _{1,6-1=0,6}} ou r−q=r″{displaystyle r-q=r''}

Ou seja, r″=b110+b2102+b3103+⋯+bn10n{displaystyle r''={frac {b_{1}}{10}}+{frac {b_{2}}{10^{2}}}+{frac {b_{3}}{10^{3}}}+cdots +{frac {b_{n}}{10^{n}}}}.

Comparação entre frações^[9][10][11] |

Comparar frações significa analisar qual representa a maior ou menor quantidade ou ainda, se elas são iguais(equivalentes).

Para comparar as frações temos duas situações:

1∘){displaystyle 1^{circ })} As frações possuem denominadores iguais:

Para analisar as frações com mesmo denominador, basta verificar seu numerador.

Exemplo: Temos as seguinte frações 13{displaystyle {frac {1}{3}}} e 23{displaystyle {frac {2}{3}}}, como 2{displaystyle 2} é maior que 1{displaystyle 1}, então 23>13{displaystyle {frac {2}{3}}>{frac {1}{3}}}.

2∘){displaystyle 2^{circ })} As frações possuem denominadores diferentes:

Para compararmos frações com denominadores diferentes precisamos reduzi-las a um mesmo denominador. Podemos fazer de dois modos:

a){displaystyle a)} Pelo MMC:

Dadas as seguintes frações: 25{displaystyle {frac {2}{5}}} e 23{displaystyle {frac {2}{3}}}. faremos o mmc{displaystyle mmc} entre os dois denominadores e ao obter o resultado transformaremos em novas frações equivalentes a primeira e com denominadores iguais.

Temos então: 3515135{displaystyle {begin{array}{c|}3&5\hline 1&5\&1\end{array}}{begin{array}{lcl}3\5end{array}}} 3⋅5=15{displaystyle quad 3cdot 5=15}

Como 3{displaystyle 3} e 5{displaystyle 5} são números primos o mmc(3,5)=15{displaystyle mmc(3,5)=15}, este resultado será o denominador comum entre as frações.

Para obtermos o novo numerador, dividimos o número 15{displaystyle 15} pelo denominador da primeira fração, e o resultado multiplicamos com o numerador. Então:

Pegando a fração 25{displaystyle {frac {2}{5}}},

15÷5=3⇒3⋅2=6{displaystyle {begin{aligned}15div 5&=3\&Rightarrow 3cdot 2=6\end{aligned}}}

⟹615{displaystyle Longrightarrow {frac {6}{15}}}

Fazemos o mesmo com a fração 23{displaystyle {frac {2}{3}}},

15÷3=5⇒5⋅2=10{displaystyle {begin{aligned}15div 3&=5\&Rightarrow 5cdot 2=10\end{aligned}}}

⟹1015{displaystyle Longrightarrow {frac {10}{15}}}

Uma vez igualados os denominadores, pode-se fazer a comparação entre as frações:

25<23{displaystyle qquad qquad {frac {2}{5}}<{frac {2}{3}}qquad qquad qquad }

pois 615<1015{displaystyle qquad {frac {6}{15}}<{frac {10}{15}}}.

b){displaystyle b)}Multiplicando Cruzado:

Neste caso multiplicamos o numerador da primeira fração com o denominador da segunda e o numerador da segunda fração pelo denominador da primeira.

ab×cd⟹a⋅dec⋅b{displaystyle {frac {a}{b}}times {frac {c}{d}}Longrightarrow acdot dquad {text{e}}quad ccdot b}

Com isso, temos:

⇛ab>cd{displaystyle Rrightarrow {frac {a}{b}}>{frac {c}{d}}} quando a⋅d>c⋅b{displaystyle acdot d>ccdot b} e

⇛cd>ab{displaystyle Rrightarrow {frac {c}{d}}>{frac {a}{b}}} quando c⋅b>a⋅d{displaystyle ccdot b>acdot d}

Caso o resultado seja igual a⋅d=c⋅b{displaystyle acdot d=ccdot b} significa que elas são equivalentes.

Exemplo: 45 e 13{displaystyle {frac {4}{5}}{text{ }}{text{e}}{text{ }}{frac {1}{3}}}

⇒45×13{displaystyle Rightarrow {frac {4}{5}}times {frac {1}{3}}}

⇒4⋅3=12e1⋅5=5{displaystyle Rightarrow 4cdot 3=12quad {text{e}}quad 1cdot 5=5}

Temos então, 12>5{displaystyle 12>5}, logo

45>13{displaystyle qquad qquad quad {frac {4}{5}}>{frac {1}{3}}}.

Adição e Subtração de Frações^[12] |

Assim como na comparação de frações, na adição e subtração temos dois casos:

⊳{displaystyle vartriangleright } Com denominadores iguais;

⊳{displaystyle vartriangleright } Com denominadores diferentes.

1∘){displaystyle 1^{circ })} Frações com o mesmo denominador:

Para frações com denominador em comum, somamos ou subtraímos os numeradores de acordo com a operação solicitada e mantemos o denominador.

Exemplos:

a){displaystyle qquad qquad a)} 29+59=2+59=79{displaystyle {frac {2}{9}}+{frac {5}{9}}={frac {2+5}{9}}={frac {7}{9}}}

b){displaystyle qquad qquad b)} 53−13=5−13=43{displaystyle {frac {5}{3}}-{frac {1}{3}}={frac {5-1}{3}}={frac {4}{3}}}

Essa expressão pode ser escrita também deste modo:

123−13=12−13=113{displaystyle quad 1{frac {2}{3}}-{frac {1}{3}}=1{frac {2-1}{3}}=1{frac {1}{3}}}

∗{displaystyle *} no caso de ter duas frações mistas, somamos ou subtraímos os números inteiros, mantemos o denominador e somamos ou subtraímos o numerador.

2∘){displaystyle 2^{circ })} Frações com denominadores diferentes:

Neste caso temos que transformar as frações em uma fração com denominador em comum, fazemos isso através do MMC.

Por exemplo: 19+36{displaystyle {frac {1}{9}}+{frac {3}{6}}}

Fazendo o mmc{displaystyle mmc} entre os denominadores, teremos: 9693311233{displaystyle {begin{array}{c|}9&6\hline 9&3\3&1\1&end{array}}{begin{array}{lcl}2\3\3end{array}}}2⋅3⋅3=18{displaystyle qquad 2cdot 3cdot 3=18}

O mmc(9,6)=18{displaystyle mmc(9,6)=18}.

Agora que encontramos um denominador em comum, faremos o processo análogo ao processo de comparação entre frações com denominadores diferentes, porém iremos somar seus numeradores, mantendo o denominador que tivemos como resultado do mmc{displaystyle mmc}. Temos então:

19+36=1×218+3×318=218+918=1118{displaystyle {frac {1}{9}}+{frac {3}{6}}={frac {1times 2}{18}}+{frac {3times 3}{18}}={frac {2}{18}}+{frac {9}{18}}={frac {11}{18}}}

Na subtração o processo é análogo.

Multiplicação de Frações |

Tendo as seguintes frações ab{displaystyle {frac {a}{b}}} e cd{displaystyle {frac {c}{d}}}, para multiplica-las basta fazer o produto de seus numeradores e o produto de seus denominadores, temos então:

ab×cd=a⋅cb⋅d{displaystyle {frac {a}{b}}times {frac {c}{d}}={frac {acdot c}{bcdot d}}}, com a{displaystyle a}, b{displaystyle b}, c{displaystyle c} e d∈R{displaystyle din mathbb {R} }

Exemplo: 23×13=2⋅13⋅3=29{displaystyle {frac {2}{3}}times {frac {1}{3}}={frac {2cdot 1}{3cdot 3}}={frac {2}{9}}}

No caso de um número inteiro multiplicar uma fração, fazemos o produto do número inteiro com o numerador e conservamos o denominador, isso ocorre porque o número inteiro na fração possui como denominador o número 1{displaystyle 1}, e qualquer número multiplicado por 1{displaystyle 1} é ele mesmo.

Exemplo: 1×23=1⋅23=23{displaystyle 1times {frac {2}{3}}={frac {1cdot 2}{3}}={frac {2}{3}}}

É o mesmo que fazer 11×23=1⋅21⋅3=23{displaystyle {frac {1}{1}}times {frac {2}{3}}={frac {1cdot 2}{1cdot 3}}={frac {2}{3}}}

Divisão |

Para efetuar a divisão entre duas frações, multiplica-se a fração que está no numerador pelo inverso da fração que está no denominador.
Ex.:3452=34×25=620=310.{displaystyle {frac {frac {3}{4}}{frac {5}{2}}}={frac {3}{4}}times {frac {2}{5}}={frac {6}{20}}={frac {3}{10}}.}

No último passo foi feita Simplificação de Frações.

Exponenciação ou potenciação de frações |

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:^[13]

(12)2=1222=14=0,25{displaystyle left({dfrac {1}{2}}right)^{2}={dfrac {1^{2}}{2^{2}}}={dfrac {1}{4}}=0,25}

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

(12)2=(0,5)2=0,25{displaystyle left({dfrac {1}{2}}right)^{2}=({0,5})^{2}=0,25}

Radiciação |

A raiz de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação:^[13]

14=14=12=0,5{displaystyle {sqrt {frac {1}{4}}}={frac {sqrt {1}}{sqrt {4}}}={frac {1}{2}}=0,5}

E, analogamente, é possível fazer a divisão antes da radiciação.

Expoente fracionário |

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

823=823=643=4{displaystyle 8^{{2} over {3}}={sqrt[{3}]{8^{2}}}={sqrt[{3}]{64}}={4}}

Corpo de frações |

Ver artigo principal: Corpo de frações

Se um conjunto A tem duas operações binárias + e x satisfazendo determinadas propriedades, pode-se perguntar em que condições é possível estender A para um outro conjunto B com operações binárias + e x, de forma que (B,+,x) seja um corpo e as operações (A+B) e (AxB) dêem o mesmo resultado quando efetuadas em A ou em B. Quando possível, temos a construção do corpo de frações.

Notas e referências

• Portal da matemática