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As cinco raízes complexas
[1] de
x5=1+3i{displaystyle x^{5}=1+{sqrt {3}}i}
Em matemática, uma raiz ou "zero" da função consiste em determinar os pontos de intersecção da função com o eixo das abscissas no plano cartesiano. A função f{displaystyle f}
é um elemento x{displaystyle x}
no domínio de f{displaystyle f} tal que f(x)=0{displaystyle f(x)=0}
.
Por exemplo, considere a função:
- f(x)=x2−6x+9{displaystyle f(x)=x^{2}-6x+9}
então 3{displaystyle 3}
é uma raiz de f{displaystyle f}, porque:
f(3)=32−6{displaystyle f(3)=3^{2}-6}
× 3+9=0{displaystyle 3+9=0}
se a função envia números reais em números reais, os seus zeros estão onde o seu gráfico cruza o eixo de x{displaystyle x}. Se P{displaystyle P}
é uma função polinomial de uma variável e a{displaystyle a}
é uma raiz de P{displaystyle P}, então:
- P(x)=(x−a)kQ(x){displaystyle P(x)=(x-a)^{k}Q(x)}
para algum número natural k{displaystyle k}
e alguma função polinomial Q(x){displaystyle Q(x)}
tal que Q(a){displaystyle Q(a)}
≠ 0{displaystyle 0}
. Diz-se então que a{displaystyle a} é uma raiz de multiplicidade k{displaystyle k}; se k=1{displaystyle k=1}
, diz-se que a{displaystyle a} é uma raiz simples. É frequente que se contem as raízes de uma função polinomial com as raízes de multiplicidade k{displaystyle k} contarem como se fossem k{displaystyle k} raízes; chama-se a isto contar as raízes com as respectivas multiplicidades. Considere-se, por exemplo, a função polinomial de R em R definida por:
P(x)=4x6+8x5+x4−5x3−x2+x{displaystyle P(x)=4x^{6}+8x^{5}+x^{4}-5x^{3}-x^{2}+x}
[2]
como se tem:
- P(x)=4(x−1/2)2(x+1)3x{displaystyle P(x)=4(x-1/2)^{2}(x+1)^{3}x}
o número de raízes de P(x){displaystyle P(x)}
contadas com as respectivas multiplicidades é igual a 6{displaystyle 6}
(a raiz 0{displaystyle 0} conta como uma única raiz, a raiz −1{displaystyle -1}
conta como 3 raízes e a raiz 1/2{displaystyle 1/2}
como 2{displaystyle 2}
).
A palavra raiz também pode referir-se a um número na forma x1/n{displaystyle x^{1/n}}
com n{displaystyle n}
∈ N, como a raiz quadrada ou outras raízes de ordem superior (raiz cúbica, raiz quarta, …).
↑ «Calcule raízes complexas com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 28 de março de 2016.
↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 28 de março de 2016.
