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Representação gráfica da função: y = x3{displaystyle {sqrt[{3}]{x}}}

Em ciências e matemática a raiz cúbica de um número x{displaystyle x} (expressa como x3{displaystyle {sqrt[{3}]{x}}} ou x13{displaystyle x^{1 over 3}}), é o valor numérico tal que, ao ser multiplicado três vezes por si mesmo, dá como resultado x.{displaystyle x.} Por exemplo, a raiz cúbica de 27 é 3, já que 3×3×3=27.{displaystyle 3times 3times 3=27.}

Em geral, um número real possui três raízes cúbicas, uma correspondente a um número real, e as outras duas a números complexos. Assim, as raízes cúbicas de 8 são:

83={  2−1+i3−1−i3{displaystyle {sqrt[{3}]{8}}={begin{cases} 2\-1+i{sqrt {3}}\-1-i{sqrt {3}}end{cases}}}

A operação de calcular a raiz cúbica de um número é uma operação associativa com a potenciação e distributiva com a multiplicação e divisão, mas não é associativa ou distributiva com a soma ou a subtração.

Definição formal |

As raízes cúbicas de um número x{displaystyle x} são números y{displaystyle y} que satisfazem a equação

y3=x{displaystyle y^{3}=x}

Números reais |

Se x e y são reais, então existe uma única solução tal que a equação tem apenas uma única solução, e esta corresponde a um número real. Se é empregada esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é também um número negativo. Desta forma o princípio da raiz cúbica de x é representada igualmente por:

x3=x13{displaystyle {sqrt[{3}]{x}}=x^{1 over 3}}

Se x e y são ambos complexos, então se pode dizer que possui três soluções (se x não é nulo) e assim x tem três raízes cúbicas: uma raiz real e duas complexas, na forma de par conjugado. Este facto deixa interessantes resultados dentro das matemática.

Por exemplo, as raízes do número 1 são:

13={  1−12+32i−12−32i{displaystyle {sqrt[{3}]{1}}={begin{cases} 1\-{frac {1}{2}}+{frac {sqrt {3}}{2}}i\-{frac {1}{2}}-{frac {sqrt {3}}{2}}iend{cases}}}

Estas duas raízes se relacionam com todas as outras raízes cúbicas de outros números. Se um número é raiz cúbica de um número real as raízes cúbicas podem ser calculadas multiplicando o número pelas raízes da raiz cúbica de um.

Números complexos |

Para os números complexos, o valor principal das raízes cúbicas se define como:

x13=exp⁡(ln⁡x3){displaystyle x^{1 over 3}=exp left({ln {x} over 3}right)}

Onde ln(x) é o logaritmo natural. Se é escrito x como

x=rexp⁡(iθ){displaystyle x=rexp(itheta )}

Onde r é um número real positivo e θ{displaystyle theta } cai no intervalo:

−π<θ≤π,{displaystyle -pi <theta leq pi ,}

então a raiz cúbica é

x3=r3exp⁡(iθ3).{displaystyle {sqrt[{3}]{x}}={sqrt[{3}]{r}}exp left({itheta over 3}right).}

Isto significa que em coordenadas polares ao tomar a raiz cúbica de um número complexo se está tomando a raiz cúbica do raio e o ângulo polar está sendo dividido em três partes de tal forma que define as três raízes. Com esta definição, a raiz cúbica de um número negativo é um número complexo, e por exemplo −83{displaystyle {sqrt[{3}]{-8}}} não será -2, senão 1+i3.{displaystyle 1+i{sqrt {3}}.} Naqueles programas que aceitam resultados imaginários (tais como Mathematica), o gráfico da raiz cúbica de x no plano dos números reais dará como resultados valores negativos da raiz por igual..

A raiz cúbica em uma calculadora de mão |

Procedente da seguinte identidade:

13=122(1+122)(1+124)(1+128)(1+1216)…,{displaystyle {frac {1}{3}}={frac {1}{2^{2}}}left(1+{frac {1}{2^{2}}}right)left(1+{frac {1}{2^{4}}}right)left(1+{frac {1}{2^{8}}}right)left(1+{frac {1}{2^{16}}}right)dots ,}

Existe um método simples para poder calcular a raiz cúbica de um número em uma calculadora não-científica, o qual requer só as operações aritméticas de multiplicação e raiz quadrada. Não se requer além disso a memória. Se descreve a seguir:

• Pressiona-se o botão de raiz quadrada, duas vezes.


• Pressiona-se o botão de multiplicação.


• Pressiona-se o botão de raiz quadrada duas vezes.


• Pressiona-se o botão de multiplicação.


• Pressiona-se o botão de raiz quadrada quatro vezes.


• Pressiona-se o botão de multiplicação.


• Pressiona-se o botão de raiz quadrada oito vezes.


• Pressiona-se o botão de multiplicação...

O processo é continuado até que número que apareça no visor permaneça sem alterar-se, isto ocorre devido a que tem que aparecer 1 ou um número tal que 0,9999999... (isto significa que se tenha chegado ao limite da precisão da calculadora). Neste momento se pressiona o botão de raiz quadrada uma vez mais e o número que aparece no visor corresponderá a melhor aproximação que a calculadora pode proporcionar da raiz cúbica do número original. No método anterior se substitui a primeira multiplicação por uma divisão, sem modificar o restante do algoritmo, no lugar de averiguar a raiz cúbica se averigua a raiz quinta.

Cálculo manual da raiz cúbica |

Igualmente como com as raízes quadradas, existe também uma operação que, ainda que muito pouco utilizada por haver métodos mais simples para resolvê-las, serve para obter o resultado da raiz cúbica de um número dado, a operação é a seguinte:

————————|

  1331  |11

 -1     |——————————————

 ——     |300·1²·3= 900

  0331  | 30·1·3²= 270

  -331  |      3³=  27

  ————  |         ————

   000  |         1197

        |se passa de 331

        |

        |300·1²·2= 600

        | 30·1·2²= 120

        |      2³=   8

        |         ————

        |          728  

        |se passa de 331

        |

        |300·1²·1= 300

        | 30·1·1²=  30

        |      1³=   1

        |          ———

        |          331

        |é igual ou menor

        |a 331

Explicação da operação:

1. Separam-se os dígitos de 3 em 3 da direita para a esquerda à direita da vírgula se não tem decimais e se os tem então as cifras decimais são separadas de 3 em 3 da esquerda para a direita.


2. Procura-se um número cujo cubo seja igual ou menor (se é menor sempre a cifra mais alta possível sem chegar a ultrapassá-lo) à primeira cifra ou conjunto de cifras que se encontram primeiro (à esquerda).


3. À primeira cifra ou conjunto de cifras se lhe resta esse número cujo cubo é igual ou menor ao primeiro conjunto de cifras, e põe-se esse resultado baixando-se ao lado o seguinte grupo de três cifras.

Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raiz Cúbica |

A raiz cúbica de um número complexo (com aproximadamente 6 casas decimais de precisão) pode ser calculada pela seguinte fórmula - descoberta por Ludenir Santos do estado de Rio Grande do Sul:

c3=k.(29z3+261z2+255z+227z3+165z2+324z+71){displaystyle {sqrt[{3}]{c}}=k.left({29z^{3}+261z^{2}+255z+22 over 7z^{3}+165z^{2}+324z+71}right)}

Onde:

c3=k3.z3,{displaystyle {sqrt[{3}]{c}}={sqrt[{3}]{k^{3}.z}},}

Observe que c, k, z são valores conhecidos.

c é o radicando, ou seja, o número para o qual desejamos saber a raiz cúbica;

k é a base do cubo perfeito mais próximo de c;

Da igualdade, c3=k3.z3,{displaystyle {sqrt[{3}]{c}}={sqrt[{3}]{k^{3}.z}},} tem-se:

c=k3.z{displaystyle {c}={k^{3}.z}}

Logo, z=ck3{displaystyle {z}={c over k^{3}}}

O valor de z deve ser o mais próximo possível de "1".

k não precisa ser, obrigatoriamente, um inteiro. A fim de tornar z mais próximo de "1" pode-se trabalhar com k racional.

Exemplos:

a) 613{displaystyle {sqrt[{3}]{61}}}

c3{displaystyle {sqrt[{3}]{c}}}

c=61{displaystyle c=61}

27<61<64{displaystyle {27<61<64}}

33<61<43{displaystyle {3^{3}<61<4^{3}}}

k3=43{displaystyle {k^{3}}=4^{3}}

k=4{displaystyle k=4}

Como z=ck3{displaystyle {z}={c over k^{3}}} então z=6164=>z=0.953125{displaystyle {z}={61 over 64}=>z=0.953125}

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

613=4(0.984124295794616){displaystyle {sqrt[{3}]{61}}=4(0.984124295794616)}

613=3.936497183{displaystyle {sqrt[{3}]{61}}=3.936497183}

Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:

x2=−x1+−3.(x1)22{displaystyle x2={-x1+{sqrt {-3.(x1)^{2}}} over 2}}

x3=−x1−−3.(x1)22{displaystyle x3={-x1-{sqrt {-3.(x1)^{2}}} over 2}}

Portanto,

x1=3.936497183{displaystyle {x1}=3.936497183}

x2=−1.968248591+3.409106562i{displaystyle {x2}=-1.968248591+3.409106562i}

x3=−1.968248591−3.409106562i{displaystyle {x3}=-1.968248591-3.409106562i}

Estimando o valor de "k" para Reais

Separe os digitos do radicando em grupos de 3 digitos, do final para o início.

Encontre a raiz cúbica aproximada, apenas para o 1o grupo.

Para cada um dos demais grupos, adotar zero.

No exemplo 33.143.4283{displaystyle {sqrt[{3}]{33.143.428}}} podemos considerar k=300{displaystyle k=300}

O "3" substitui o 1o grupo porque é a base do cubo perfeito mais próximo de "33", ou seja, 33=27{displaystyle 3^{3}=27}

Um "0" para substituir o 2o grupo que, no caso, é "143"

Outro "0" para substituir o 3o grupo que, no caso, é "428".

Estimando o valor de "k" para Imaginários

Seja o complexo a+bi{displaystyle a+bi} então ...

1) Sobre o valor absoluto de "k":

Somar os valores absolutos de a{displaystyle a} e b,{displaystyle b,} ou seja, nesta soma deve-se desconsiderar os sinais de a{displaystyle a} e b.{displaystyle b.} ..

A estimativa será a base do cubo perfeito mais proximo desta soma.

2) Sobre o sinal de "k":

O sinal de "k" é será igual ao sinal do maior termo do complexo a+bi,{displaystyle a+bi,} ou seja, se |a| for maior que |b| então adotar o sinal de "a"
senão adotar o sinal de "b".

b) 11+197i3{displaystyle {sqrt[{3}]{11+197i}}}

c3{displaystyle {sqrt[{3}]{c}}}

c=11+197i{displaystyle c=11+197i}

Estimando o valor de k ...

Valor:

|11|+|197|=208{displaystyle {|11|+|197|=208}}

125<208<216{displaystyle {125<208<216}}

53<208<63{displaystyle {5^{3}<208<6^{3}}}

k=6{displaystyle k=6}

Sinal:

Como |b|>|a| então k receberá o sinal de "b".

k{displaystyle k}

Como z=ck3{displaystyle {z}={c over k^{3}}} então z=11+197i63=>z=0.0509259259259259+0.912037037037037i{displaystyle {z}={11+197i over 6^{3}}=>z=0.0509259259259259+0.912037037037037i}

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

11+197i3=6.(0.845837867090806+0.466844946251768i){displaystyle {sqrt[{3}]{11+197i}}=6.(0.845837867090806+0.466844946251768i)}

11+197i3=5.07502720254484+2.80106967751061i{displaystyle {sqrt[{3}]{11+197i}}=5.07502720254484+2.80106967751061i}

Como o valor de "k" foi estimado então precisamos reaplicar a fórmula:

k=5.07502720254484+2.80106967751061i{displaystyle k=5.07502720254484+2.80106967751061i}

z=ck3{displaystyle {z}={c over k^{3}}}

z=11+197i(5.07502720254484+2.80106967751061i)3=>z=1.01296791900645+0.00206735560872315i{displaystyle {z}={11+197i over (5.07502720254484+2.80106967751061i)^{3}}=>z=1.01296791900645+0.00206735560872315i}

Aplicando-se o valor de "z" na fórmula luderiana (acima), tem-se:

11+197i3=(5.07502720254484+2.80106967751061i).(1.00430455271257+0.000683224035207582i){displaystyle {sqrt[{3}]{11+197i}}=(5.07502720254484+2.80106967751061i).(1.00430455271257+0.000683224035207582i)}

11+197i3=5.094959166527+2.816594410153i{displaystyle {sqrt[{3}]{11+197i}}=5.094959166527+2.816594410153i}

Por tratar-se de raiz cúbica, existem mais duas raízes que iremos calcular através das seguintes fórmulas:

x2=−x1+−3.(x1)22{displaystyle x2={-x1+{sqrt {-3.(x1)^{2}}} over 2}}

x3=−x1−−3.(x1)22{displaystyle x3={-x1-{sqrt {-3.(x1)^{2}}} over 2}}

Portanto,

x1=5.094959166527+2.816594410153i{displaystyle {x1}=5.094959166527+2.816594410153i}

x2=−0.108237271914−5.820661274534i{displaystyle {x2}=-0.108237271914-5.820661274534i}

x3=−4.986721894613+3.004066864381i{displaystyle {x3}=-4.986721894613+3.004066864381i}

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