Divisão
Nota: Para outros significados, veja Divisão (desambiguação).
Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por algum elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.
No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.
Índice
1 Propriedades importantes
1.1 Nos números inteiros
1.2 Nos números racionais, reais e em outros corpos
1.3 Divisão de polinômios
1.4 Em estruturas mais gerais
2 Representação
3 Ver também
4 Notas e referências
5 Referências
Propriedades importantes |
As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.
Nos números inteiros |
Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo[1]) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor[1]). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.
Se a e b são dois números inteiros positivos (com b≥a{displaystyle bgeq a}
A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.
Nos números racionais, reais e em outros corpos |
Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.
Por um exemplo, para dividirmos um número racional q1=ab{displaystyle q_{1}={frac {a}{b}}}
q1q2=q1 q2−1=ab dc=adbc{displaystyle {frac {q_{1}}{q_{2}}}=q_{1} q_{2}^{-1}={frac {a}{b}} {frac {d}{c}}={frac {ad}{bc}}}
Em Z13{displaystyle mathbb {Z} _{13}}
75=7.5−1=7.8=4{displaystyle {frac {7}{5}}=7.5^{-1}=7.8=4}
Divisão de polinômios |
Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto.[3] Veja divisão polinomial.
Em estruturas mais gerais |
A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.
Representação |
Sejam a e b elementos do conjunto dos números inteiros, e b diferente de zero. Podemos representar uma divisão da seguinte forma:
- Como uma fração: ab,{displaystyle {frac {a}{b}},}
(utilizando uma barra horizontal entre os dois algarismos);
- Através de uma barra inclinada: a/b{displaystyle {}^{a}!{/}!{}_{b}}
. (É utilizado para fazer operações em computadores);
- Com a simbologia usual da divisão, utilizando dois pontos e uma barra horizontal entre eles: a÷b{displaystyle adiv b}
;
- Utilizando dois pontos entre os dois algarismos na horizontal: a:b{displaystyle a:b}
;
- Usando a notação do inverso multiplicativo: ab−1{displaystyle ab^{-1}}
.
Ver também |
- Wikcionário
- Critérios de divisibilidade
- Divisão por zero
- Multiplicação
- Anel (matemática)
- Corpo (matemática)
- Algoritmo de Euclides
Notas e referências
↑ abc Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), p. 39
↑ Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), p. 40
↑ Serrasqueiro (1906), p. 35-37
Referências |
Vianna, João José Luiz (1914). Elementos de Arithmetica 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves
Serrasqueiro, José Adelino (1906). Tratado de Algebra Elementar 9 ed. Largo da Sé Velha: Livraria Central de J. Diogo Pires
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